Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Corda interceptada por lado de triângulo eqüilátero

O problemaEditar

Considere um triângulo eqüilátero ABC, inscrito em um círculo de raio R. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios do arco menor AC e do segmento BC. Se a reta que contém MN também intercepta a circunferência desse círculo no ponto P, P ≠ M, então calcule a medida do segmento NP em função de R.

Uma soluçãoEditar

Inicialmente, vamos atentar para a figura que podemos elaborar a partir das informações do enunciado:

 
Imagem ilustrativa.

O problema pede o comprimento de NP em função de R. Vamos então, antes de partir para esse segmento, calcular o valor do lado do triângulo ABC em função de R, pois vamos precisar desse dado.

Como foi dito que ABC é um triângulo eqüilátero, o raio da circunferência circunnscrita a ele em função de seu lado é:


 


Então vamos desenvolver um pouco essa expressão para encontrar o lado do referido triângulo em função de R:


 


Agora podemos seguir com o segmento NP. Note que os segmentos MN e BC podem ser considerados cordas da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, que se interceptam no ponto P. Sendo assim, atentemos para o seguinte enunciado:


"Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P dentro da circunferência, então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda."[1]


Sendo assim, podemos escrever:


 


Como o ponto N é o ponto médio do segmento BC, temos que:


 


Portanto:


 ....(I)


Agora, vamos atentar para o triângulo BNM. Note que, como o segmento BM é a bissetriz de um triângulo eqüilátero, o ângulo MBN é igual a 30°. Como conhecemos os dois lados adjacentes a um ângulo (BN e BM, em relação ao ângulo MBN), conhecemos o cosseno desse ângulo e queremos a medida do segmento oposto a esse ângulo (no nosso caso, o segmento MN), podemos utilizar a Lei dos Cossenos:


 


 


 


 ....(II)


Agora, podemos substituir (II) em (I) e, finalmente, obter o comprimento do segmento NP em função de R:


 


 


 


E assim terminamos o problema.


Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

AgradecimentosEditar

  • A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.


ReferênciasEditar

  1. Jader Otávio Dalto, Sônia F. L. Toffoli e Ulysses Sodré, in Matemática Essencial: Geometria: Círculo, circunferência e arcos.