Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Distância entre os centros de dois círculos

O problemaEditar

Se os lados de um triângulo medem, respectivamente, 3x, 4x e 5x, em que x é um número inteiro positivo, então calcule a distância entre os centros dos círcrulos inscrito e circunscrito a esse triângulo.

Uma soluçãoEditar

Antes de mais nada, se o triângulo possui lados iguais a 3x, 4x e 5x ele é um triângulo retângulo, com hipotenusa igual a 5x e catetos iguais e 3x e 4x. Através disso, podemos calcular as medidas dos raios dos círculos inscrito e circunscirto a esse triângulo, r e R respectivamente:


 

Sendo A a área do triângulo e p seu semiperímetro.[1]


 

Sendo A a área do triângulo e a, b e c são os lados do mesmo. Essa fórmula da área é conseqüência imediata da Lei dos Senos. A utilização da mesma serviu para mostrar que toda circunferência - ou todo círculo - circunscrita a um triângulo retângulo possui diâmetro igual à hipotenusa do triângulo.


Agora, podemos elaborar uma imagem ilustrativa para auxiliar na solução:

 
Imagem ilustrativa.

Perceba aqui que r, z e d formam um triângulo retângulo. Então:


 ....(I)


Agora, vamos atentar para o ângulo  . Como a reta que contém o segmento Co é a bissetriz do ângulo BCA,   é a metade desse ângulo. Veja ainda que:


 ....(II)


Porém, como já vimos, o ângulo   é a metade do ângulo BCA. Sendo assim, pela fórmula da bissecção de arcos:


 


Como o ângulo   é o ângulo BCA, temos que:

 


 


Substituindo esses valores na fórmula da tagente que nós encontramos:


 


Agora, nós podemos substituir esse valor da tagente de   em (II) e encontrar o valor de z em função de x:

 


Finalmente, podemos substituir esse valor de z na equação (I) para encontrar o valor de d:


 


 


E assim terminamos o problema.


Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

AgradecimentosEditar

  • A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.
  • A Euclides (usuário do Fórum Só Matemática) que tornou possível a disponibilização da demonstração da fórmula do raio da circunferência inscrita num triângulo qualquer.

ReferênciasEditar

  1. Euclides, in Demonstração da fórmula do raio da circunferência inscrita num triângulo qualquer.