Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Flecha de arco capaz

O problema

Se um segmento AB tem 2 cm de comprimento, então calcule o comprimento da flecha do arco capaz de 135° desse segmento.

As soluções

Antes de mais nada, vamos atentar para a definição de Arco Capaz:

"Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz."

Então, pela definição de arco capaz e pelo enunciado, podemos imaginar a seguinte imagem:

Imagem 1.

Na imagem acima, o segmento de reta AB tem 2 cm de comprimento, $\alpha$ mede 135° e o arco capaz de 135° do segmento AB é o arco AB (em vermelho). O problema pede o comprimento da flecha desse arco, que é exatamente o comprimento do segmento DC. Eu conheço duas soluções para esse problema. Uma mais exata, com mais cálculos, e outra mais intuitiva, com menos cálculos. Vamos à primeira!

Primeira solução

Como vê-se na imagem acima, quaisquer que sejam os ângulos que possuam extremidades em A, B e no arco AB, eles terão a medida de 135°. Na mesma imagem, foi representado um desses ângulos que, quando dividido pelo segmento DC, fica partido em dois ângulos iguais de ${\frac {135}{2}}$ graus cada um. Um desses ângulos partilhados é ACD = $\beta$. Como DA = 1 cm e o ângulo CDA é reto, podemos cacular o comprimento de DC utilizando um pouco de trigonometria:

$tg\beta ={\frac {1}{DC}}\longrightarrow DC={\frac {1}{tg\beta }}\longrightarrow DC=cotg\beta$

Como $\beta ={\frac {\alpha }{2}}$ e, dessa maneira, $\beta$ está no 1º quadrante e possui tagente positiva, vamos utilizar a fórmula da bissecção de arcos para encontrar o valor da $cotg\beta$ e assim, terminar o problema:

$tg\left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$

Como 135° = 90° + 45°, tem-se que 135° está no segundo quadrante, e o valor de seu cosseno é exatamente o oposto do cosseno de 45°, ou seja, $\cos \alpha =-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$. Agora, é só substituir o dado na equação acima:

$tg\beta ={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}}}\rightarrow tg\beta ={\sqrt {\frac {\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}{\frac {2-{\sqrt {2}}}{2}}}}\rightarrow tg\beta ={\sqrt {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}}\rightarrow tg\beta ={\sqrt {\frac {\left(2+{\sqrt {2}}\right)^{2}}{4-2}}}\rightarrow tg\beta ={\frac {2+{\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}$

Agora, temos que a $cotg\beta$ será o inverso da $tg\beta$. Assim sendo:

${\overline {DC}}=cotg\beta ={\frac {\sqrt {2}}{2+{\sqrt {2}}}}.{\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}\rightarrow {\overline {DC}}={\frac {{\sqrt {2}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)}{4-2}}\rightarrow {\overline {DC}}={\frac {2{\sqrt {2}}-2}{2}}\rightarrow {\overline {DC}}={\sqrt {2}}-1cm$

E terminamos o problema.

Segunda solução

Essa solução é um pouco mais intuitiva. Podemos então traçar vários segmentos de comprimento igual a CB: do ponto B ao ponto F, do ponto F ao ponto H, do ponto H ao ponto G, do ponto G ao ponto I, de I a E e de E a A, de modo que todos os ângulos assim formados sejam de 135°. Sendo assim, formamos quatro triângulos iguais. Perceba que o lado AB do triângulo ACB é igual a HB, a HI e a IA. Formaos, então, um quadrado ABHI, inscrito na circunferência. O lado desse quadrado é 2 cm, e o raio da circunferência será igual a ${\sqrt {2}}$ cm. Tudo isso está ilustrado na figura adiante:

Imagem 2

Agora, atente para o seguinte: a flecha do arco AB, é igual a DC, certo? Mas, perceba também que o segmento DC satisfaz a seguinte relação:

${\overline {DC}}={\overline {OC}}-{\overline {OD}}$

Como OC é igual ao raio da circunferência e OD é igual à metade do lado do quadrado ABHI, finalmente:

${\overline {DC}}={\sqrt {2}}-1cm$

E o problema termina.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.