Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Problema das circunferências tangentes 1

Descrição do problemaEditar

Três circunferências de raios 6 cm, 7 cm e 8 cm tangenciam-se externamente de modo que a primeira tangencia a segunda; a segunda tangencia a terceira e esta tangencia a primeira. Sejam P, S e Q os seus pontos de tangência. Calcule o raio da circunferência inscrita no triângulo  .

SoluçãoEditar

De acordo com o problema, podemos criar a figura adiante:

 
Imagem ilustrativa do problema.

Sendo o triângulo ABC formado pelos centros das circunferências e o triângulo pqs formado pelos pontos de tangência entre as circunferências. Perecebe-se também que os segmentos AB, AC e BC têm 13, 14 e 15 centímetros respectivamente. A cirunferência k está inscrita no triângulo pqs, sendo r o seu raio.

Olhando atentamente, podemos calcular a área do triângulo ABC pela fórmula   (onde p é o semiperímetro do triângulo e a, b e c são seus lados) e, em seguida, aplicar a fórmula   para cada ângulo do referido triângulo. Dessa maneira, conseguiremos o valor dos senos dos três ângulos para, posteriormente, calcularmos seus respectivos cossenos e prosseguirmos com o raciocínio.

Calculando o valor de  

 

 

 


Calculando o valor de  

 

 


Calculando o valor de  

 

 


Agora, com os valores dos cossenos dos ângulos em mãos, podemos calcular o valor dos lados do triângulo pqs pela Lei dos Cossenos.

Calculando o valor de  

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo Aps tem-se:

   

Calculando o valor de  

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo Bpq tem-se:

   

Calculando o valor de  

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo Cqs tem-se:

   

Pois bem. Agora, podemos descobrir o valor do raio da circunferência inscrita no triângulo ABC através da fórmula  , na qual R é o raio da circunferência inscrita no triângulo, A e p são a área e o semi-perímetro do mesmo. Podemos notar que esse raio será também o da circunferência circunscrita ao triângulo pqs e, a partir dele e dos lados do referido triângulo, podemos encontrar o que o problema pede: o raio da circunferência inscrita nele.

Calculando o valor do raio da circunferência inscrita em  

Aplicando a fórmula do raio da circunferência inscrita num triângulo qualquer para o triângulo ABC:  

Como esse também é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo pqs podemos calcular o tão esperado raio da circunferência inscrita neste:

 

Mas:  , sendo R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo pqs. Portanto:

   


 

 

 

Esse foi o valor final que eu encontrei para r. Eu ainda não consegui racionalizar mais, a ponto de tornar expressão mais simples... Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.