Matemática elementar/Exponenciais

Definição de Potência

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesmo. As potências apresentam-se na forma $x^{n}$ , onde n é o expoente e x é a base.

A potência $4^{3}$ , por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja $4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64$ . Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base ( $7^{1}=7$ ), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 ( $16^{0}$ = 1).

A regra para o expoente zero pode parecer estranha. Mas se não fosse assim, todas as propriedades de potências ficariam mais complicadas. Além disto, quem olhar um gráfico de uma função exponencial vai ver que não poderia ser de outra forma. Enfim, tudo induz para que aceitemos esta forma de definir as potências com expoente 0.

Operações com Potências

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de potências. É possível multiplicar e dividir qualquer par de potências que possuam a mesma base, o mesmo expoente, ou os dois iguais.

Multiplicação

Com a mesma base

a^{b}\times a^{c}=a^{b+c}

Para efetuar a multiplicação de potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e somam-se os expoentes.

Com o mesmo expoente

b^{a}\times c^{a}=(b\times c)^{a}

Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases.

Com a mesma base e o mesmo expoente

$a^{b}\times a^{b}=a^{b+b}$
$a^{b}\times a^{b}=(a\times a)^{b}$

Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras.

Divisão

Com a mesma base

{a^{b} \over a^{c}}=a^{b-c}

Para dividir duas potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes.

Com o mesmo expoente

{b^{a} \over c^{a}}=\left({b \over c}\right)^{a}

Para dividir duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e dividem-se as bases.

Com a mesma base e o mesmo expoente

{a^{b} \over a^{b}}=a^{b-b}

(1)

{b^{a} \over b^{a}}=\left({b \over b}\right)^{a}

Para dividir duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras.

(1) - Este caso nos dá mais um motivo para tomarmos qualquer potência com expoente 0 como sendo igual a 1. Como ${a^{b} \over a^{b}}=1$ e ${a^{b} \over a^{b}}=a^{b-b}=a^{0}$ então $a^{0}=1$ .

Observe que isto não é a prova que $a^{0}=1$ pois foi utilizada uma propriedade para subtrair os expoentes, propriedade esta que, para ser provada, necessita que seja considerado $a^{0}=1$ , logo, não pode ser provada utilizando a equação acima.

Equações envolvendo potências

Equações do tipo a^f(x) = b^g(x)

Equações do tipo

a^{f(x)}=a^{g(x)}\,

onde a é uma constante são resolvidas simplesmente igualando-se f(x) a g(x).

No caso mais geral:

a^{f(x)}=b^{g(x)}\,

é preciso, primeiro, converter uma (ou ambas) bases para que as duas bases fiquem iguais.

Exemplo

Resolva:

4^{(x+1)}=8^{x}\,

O primeiro passo é transformar as bases. No caso, pode-se transformar $4=8^{(2/3)}\,$ ou $8=4^{(3/2)}\,$ (exercício), mas é bem mais simples transformar $4=2^{2}\,$ e $8=2^{3}\,$ :

(2^{2})^{(x+1)}=(2^{3})^{x}\,

Aplicando a propriedade $(a^{b})^{c}=a^{(bc)}\,$ :

2^{(2x+2)}=2^{3x}\,

Agora temos uma equação da forma $a^{f(x)}=a^{g(x)}\,$ :

2x+2=3x\,

-x+2=0\,

x=2\,

Verificando:

4^{3}=8^{2}\,

(ok)

Equações do tipo f(a^x) = 0

As equações do tipo

f({a^{x}})=0\,

são resolvidas de forma análoga à biquadrada. Lembrando: uma biquadrada $ax^{4}+bx^{2}+c=0\,$ é resolvida pela substituição $y=x^{2}\,$ . Resolve-se a equação em y, e, com o(s) valor(es) de y, resolve-se a equação em x.

Exemplo

Resolva a equação

9^{x}+2^{3}\ 3^{(x-1)}-1=0\,

De novo, como temos bases diferentes, é conveniente reescrever tudo para a mesma base. Como $9=3^{2}\,$ , temos:

{(3^{2})}^{x}+8\ 3^{(x-1)}-1=0\,

Usando agora a propriedade ${(a^{b})}^{c}={(a^{c})}^{b}\,$ :

{(3^{x})}^{2}+8\ 3^{(x-1)}-1=0\,

Ainda temos um problema! É preciso transformar $3^{(x-1)}\,$ em uma expressão onde $3^{x}\,$ esteja isolado. Para isto, vamos usar a propriedade $a^{(b-c)}=a^{b}/a^{c}\,$ :