Matemática elementar/Função quadrática

Observe o exemplo que segue:

Um barril tem o formato de um cilindro circular reto e é utilizado para armazenar petróleo. Ele tem a capacidade V de armazenar 160 litros e sua altura h tem ${\tfrac {4}{\pi }}$ metro. Quantos x metros devem ser somados ao raio do barril para que seu volume aumente y litros?

A resposta para este problema é uma função quadrática, que pode ser deduzida pelo seguinte modo:

• O volume do cilindro é dado por seu raio r (observe que o volume foi convertido para metros cúbicos):

$V=r^{2}\pi h\to {\frac {4}{25}}={\frac {4r^{2}\pi }{\pi }}\to r={\frac {1}{5}}$

• Introduzindo x e y ao cálculo:

${\frac {4}{25}}+y={\frac {4\pi ({\frac {1}{5}}+x)^{2}}{\pi }}$

• Resolvendo:

${\frac {4}{25}}+y={\frac {4}{25}}+4x^{2}+{\frac {8x}{5}}$

• Que simplificada:

$y={\frac {20x^{2}+8x}{5}}$

Que é a solução para o problema. A presença da variável x no segundo grau (x²) caracteriza a função como quadrática (ou de segundo grau). O expoente 2 caracteriza o contradomínio por uma progressão geométrica. Tenha como exemplo a função anteriormente encontrada:

x	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
y	184,8	134,4	92	57,6	31,2	12,8	2,4	0	5,6	19,2	40,8	70,4	108	153,6	207,8

Diferentemente da função afim (em que para cada x há um valor y), na função do segundo grau os valores y se repetem. Trata-se, portanto, de uma função sobrejetora e par.

Função quadrática

A expressão geral da função do segundo grau é

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

Em que a e b são os coeficientes de x² e x, respectivamente, e c é o coeficiente independente.

Gráfico

Para traçar o gráfico no plano cartesiano, é necessário, ao menos, três soluções para f(x). Desta forma, a equação do segundo grau origina uma parábola, que é formada pelo corte vertical de um cone. A parábola pode ter concavidade voltada para cima (para a > 0) ou para a parte de baixo (para a < 0), como é mostrado nos exemplos a baixo:

Gráfico f(x) = x2, em que a concavidade está para cima.

Gráfico f(x) = -x2 + 2x, em que a concavidade está para baixo.

Além disso, você deve notar que para f(0), obtêm-se o ponto (0, c), em f(x) = ax² + bx + c:

$f(0)=0^{2}a+0b+c$

Portanto, diz-se que o coeficiente independente c é o ponto no eixo das ordenadas em que passa a parábola. Note que nos gráficos anteriores, a ausência do coeficiente independente faz com que a parábola passe pelo eixo y no ponto zero.

Zeros

Exemplo de parábola em que Δ > 0.

Exemplo de parábola em que Δ = 0.

Exemplo de parábola em que Δ < 0.

Sempre que encontramos um valor da variável x onde a função y (ou f(x)) é igual a zero, chamamos este valor de zero (ou raiz) da função. No gráfico, as raízes representam os pontos (x, 0) - ou seja, aqueles em que a parábola intercepta o eixo das abcissas. Os zeros de uma função quadrática são no máximo dois, pois a forma fatorada da função quadrática é sempre:

$y=f(x)=(x-p)(x-q)$

Ou seja, só existem dois valores que podem anular o valor da função, que são p e q. Observe que para x igual a p ou q, o produto será zero. Entretanto, a função pode, também, ter apenas uma raiz, ou também, nenhuma raiz real. O número exato de raízes reais da função quadrática é dado por seu discriminante (Δ):

$\Delta =b^{2}-4ac$

Desta forma, se Δ > 0, f(x) tem duas raízes reais e distintas. Se Δ = 0, f(x) tem duas raízes reais idênticas. Se Δ < 0, f(x) possuirá duas raízes complexas distintas.

Os valores de p e q podem ser descobertos facilmente por:

$p={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

$q={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

Desta forma, os zeros da função podem ser conhecidos pela seguinte fórmula resumida:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

É a chamada fórmula quadrática (erroneamente conhecida como fórmula de Bhaskara). Veja um exemplo em que foram calculadas as raízes de f(x) = -4x² + 3x + 1:

$x={\frac {-3\pm {\sqrt {3^{2}-4\times (-4)\times 1}}}{2\times (-4)}}={\frac {-3\pm {\sqrt {25}}}{-8}}={\frac {-3\pm 5}{-8}}$

Assim, as raízes são descobertas alternando-se o sinal anterior a √Δ:

$p={\frac {-3+5}{-8}}=-{\frac {1}{4}}$

$q={\frac {-3-5}{-8}}=1$

Detalhe do corte de um cone, em que se observa as raízes (A e C) e o vértice (B).

Vértice

O vértice é o único ponto x da função f(x) em que um determinado valor y não se repete. Ele pode ser obtido pela média aritmética de quaisquer valores x desde que determinem o mesmo y. As raízes, por exemplo, podem ser utilizadas para tal efeito. Considerando (x; y) as coordenadas do vértice de f(x), podemos encontrar o vértice do exemplo anterior:

$x={\frac {-{\frac {1}{4}}+1}{2}}={\frac {-1+4}{8}}={\frac {3}{8}}$

O valor y é obtido pela substituição de x na equação original (y = -4x² + 3x + 1):

$y=-4\left({\frac {3}{8}}\right)^{2}+3{\frac {3}{8}}+1=-4{\frac {9}{64}}+{\frac {9}{8}}+1={\frac {-36}{64}}+{\frac {72}{64}}+{\frac {64}{64}}={\frac {100}{64}}={\frac {25}{16}}$

Outra forma de se calcular as coordenadas (x; y) do vértice, é utilizando as seguintes fórmulas:

$x={\frac {-b}{2a}}$

$y={\frac {-\Delta }{4a}}$

Exemplo: quais as coordenadas do vértice de y = x² + 4x + 1?

$x={\frac {-4}{2\times 1}}=-2$

$y={\frac {-(4^{2}-4\times 1\times 1)}{4\times 1}}=-3$

Parábola de foco F. A diretriz está destacada de cor verde.

Elementos da parábola

A parábola é construída a partir de um foco e de uma diretriz.

Função dados três pontos

Dados três pontos quaisquer de um plano em que a mesma parábola os une, então é possível descobrir a função por dois métodos: por um sistema linear ou pela regra de Cramer. Mostraremos a resolução somente pelo sistema de equações, deixando o método de Cramer a cargo do leitor. Consideraremos os pontos z₁ = (x₁; y₁), z₂ = (x₂; y₂) e z₃ = (x₃; y₃) pertencentes à parábola. Dá-se a equação, então, por:

$f(x)={\begin{cases}ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=y_{1}\\ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=y_{2}\\ax_{3}^{2}+bx_{3}+c=y_{3}\end{cases}}$

Exemplo: qual a equação da parábola que passa pelos pontos z₁ = (2; 6), z₂ = (-1; -3) e z₃ = (-2; 2)?

${\begin{cases}2^{2}a+2b+c=6\\(-1)^{2}a-b+c=-3\\(-2)^{2}a-2b+c=2\end{cases}}\quad \to {\begin{cases}4a+2b+c=6\\a-b+c=-3\\4a-2b+c=2\end{cases}}$

Multiplicaremos a terceira equação por -1 e somá-la-emos às duas primeiras:

${\begin{cases}4a+2b+c=6\\a-b+c=-3\\-4a+2b-c=-2\end{cases}}\quad \to {\begin{cases}4b=4\\-3a+b=-5\end{cases}}\quad \to {\begin{cases}b=1\\-3a+1=-5\end{cases}}\quad \to {\begin{cases}b=1\\a=2\end{cases}}$

Substituindo-se a por 2 e b por 1 em uma das equações, obteremos c = - 4. Assim, a equação desta parábola é y = 2x² + x - 4.

Exercícios

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