Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo

Como dito anteriormente, um triângulo retângulo é aquele no qual um dos ângulos internos é reto.

Catetos e HipotenusaEditar

Em um triângulo retângulo, são chamados de catetos os lados perpendiculares entre si, ou seja, aqueles que formam o ângulo reto, e é chamado de hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto.
 
Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

 

A altura relativa à hipotenusa é o segmento de reta que parte do ponto onde está o ângulo reto e vai perpendicularmente até a hipotenusa.
As projeções dos catetos são as partes da hipotenusa divididas pela altura relativa.

Teorema de PitágorasEditar

 
Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Seja   a hipotenusa, sejam   e   catetos do mesmo triângulo:

 

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

Demonstração do TeoremaEditar

Por semelhançaEditar

Existem várias formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras. Esta demonstração é baseada na proporcionalidade de dois triângulos semelhantes.

Seja   um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em  , como mostrado na figura. Nós desenhamos o segmento de reta   que passa por   e é perpendicular a  . O novo triângulo   é semelhante ao nosso triângulo  , pois ambos tem um ângulo reto (por definição de perpendicular), e eles compartilham o ângulo em  , implicando que o terceiro ângulo terá a mesma medida em ambos. De forma análoga, o triângulo   também é semelhante a  . A semelhança leva a duas razões:

 
e
 

Isto pode ser escrito como:

  e  

Somando as duas igualdades, obtemos:

 

Em outras palavras, o Teorema de Pitágoras:

 

Por equivalência de polígonosEditar

Esta demonstração se baseia na congruência de triângulos e na equivalência de área de quadriláteros.


Dado   retângulo em   e seja   a altura relativa à hipotenusa, marcamos na semi-reta   um ponto   tal que   (lembre que   é a hipotenusa). Então construímos o retângulo   (lembre que   é a projeção de  ).

Agora construímos  . A semi-reta   intercepta   em um ponto  , assim como   em um ponto  . Temos o paralelogramo  .

Como   e   são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área.

Por definição de quadrado, segue que  , e também   é reto. Portanto,  .

  e   são ambos suplementares de  . Portanto,  .

Segue pelo critério lado-ângulo-ângulo de congruência de triângulos que  . Portanto,  , e por extensão,  .

Como   e   são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área. Ou seja, a área do quadrado sobre um cateto é igual à área do retângulo determinado pela projeção deste cateto e um segmento congruente à hipotenusa. Como a união do retângulo determinado por   e   com o retângulo determinado por   e   é igual ao quadrado sobre  , segue que a soma das áreas dos quadrados sobre os catetos é igual a área do quadrado sobre a hipotenusa.

Q.E.D.

Aplicações do TeoremaEditar

Com o teorema de Pitágoras, pode-se calcular o comprimento da hipotenusa de um triângulo conhecendo apenas o comprimento de cada cateto deste. Ou ainda, calcular o comprimento de um cateto conhecendo apenas a medida da hipotenusa e de outro cateto. O teorema de Pitágoras pode também ser usado para calcular o comprimento da diagonal de um retângulo conhecendo apenas os lados deste.

ExemplosEditar

  • Seja   um triângulo retângulo no qual   consista em um dos catetos o qual mede 3 metros de comprimento e   consista em outro cateto o qual mede 4 metros de comprimento. Calcule o comprimento da hipotenusa  .
    • Resolução
Dado o Teorema de Pitágoras,  , tem-se que   e  , portanto:
 
 
 
 
 
A hipotenusa do triângulo   mede 5 metros.


  • Um triângulo retângulo tem os lados  ,   e  , sendo que   é um cateto e mede 1 centímetro de comprimento, enquanto   é a hipotenusa e mede 2 centímetros. Calcule o comprimento do cateto  
    • Resolução
Dado o Teorema de Pitágoras,  , tem-se que   e  , portanto:
 
 
 
 
 
 
O cateto   mede   centímetros de comprimento.

Triângulos retângulo notáveisEditar

Triângulo 3_4_5Editar
 
Prova visual para o triângulo (3, 4, 5), Chou Pei Suan Ching 500–200 d.C.

Um "triângulo 3_4_5" é qualquer triângulo retângulo que tenha esta proporção de lados. Ou seja, um triângulo cujo um dos catetos tem o comprimento  , outro cateto, o comprimento   e a hipotenusa,  ; tal que haja um número   que:

 

 

 

A consciência desta proporção permite, a partir do comprimento de dois lados de um triângulo 3_4_5, inferir rapidamente o comprimento do terceiro lado. Por exemplo, sabendo que um triângulo tem um lado de 6 metros e outro de 8 metros, pode-se inferir corretamente que o outro lado tem 10 metros (onde n=2).

Triângulo 45º_45º_90ºEditar

O chamado "triângulo 45º_45º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção entre seus lados é:  . Ou seja, um triângulo retângulo e isóceles.

 

Triângulo 20º_70º_90ºEditar

O "triângulo 30º_60º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é:  .

 

Exercícios resolvidosEditar

Na comédia antiga Diálogo dos mortos, do poeta satírico Luciano de Samósata, Hermes empilha as montanhas Ossa e Pelion sobre o Olimpo, na esperança de, a partir de um ponto de vista mais alto, poder mostrar toda a Terra para Caronte; para sua decepção, porém, ele só consegue ver ao oeste, parte da Itália, ao sul, até Creta, ao leste, até a Jônia e, ao norte, até o Danúbio.[1] Considerando a Terra esférica, que a visão corresponde a um raio tangente, que o ponto mais distante observado seja o ponto de tangência, que a soma da altura dos três montes seja 5 km e que a distância até o ponto de tangência seja 400 km, calcule qual foi o raio da Terra usado por Luciano.


Solução

Considere que Hermes e Caronte estejam no ponto A, e que o ponto mais distante observado seja C. Sabemos o valor de AC e de h, portanto para calcular r basta resolver o triângulo retângulo OAC:

 

Simplificando:

 

Finalmente:

 

Aplicando valores (  e  )

 

Ou, aproximadamente, 16000 km.

Um melhor valor para h seria 6,5 km (somando a altura das três montanhas); usando-se um valor mais próximo do valor real do raio da Terra  , obtém-se, pela equação acima, um valor para AC de, aproximadamente, 300 km, o que é razoavelmente próximo das distâncias mencionadas por Luciano.

Ver tambémEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Triângulo rectângulo
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Teorema de Pitágoras

ReferênciasEditar

  1. Luciano de Samósata, Diálogo dos mortos, Caronte


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