Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo

Como dito anteriormente, um triângulo retângulo é aquele no qual um dos ângulos internos é reto.

Catetos e Hipotenusa

Em um triângulo retângulo, são chamados de catetos os lados perpendiculares entre si, ou seja, aqueles que formam o ângulo reto, e é chamado de hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto.

Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

A altura relativa à hipotenusa é o segmento de reta que parte do ponto onde está o ângulo reto e vai perpendicularmente até a hipotenusa.

As projeções dos catetos são as partes da hipotenusa divididas pela altura relativa.

Teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Seja

c\!\,

a hipotenusa, sejam

a\!\,

e

b\!\,

catetos do mesmo triângulo:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\!\,$

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

Demonstração do Teorema

Por semelhança

Existem várias formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras. Esta demonstração é baseada na proporcionalidade de dois triângulos semelhantes.

Seja $ABC\!\,$ um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em $C\!\,$ , como mostrado na figura. Nós desenhamos o segmento de reta $h\!\,$ que passa por $C\!\,$ e é perpendicular a ${\overline {AB}}\!\,$ . O novo triângulo $ACH\!\,$ é semelhante ao nosso triângulo $ABC\!\,$ , pois ambos tem um ângulo reto (por definição de perpendicular), e eles compartilham o ângulo em $A\!\,$ , implicando que o terceiro ângulo terá a mesma medida em ambos. De forma análoga, o triângulo $CBH\!\,$ também é semelhante a $ABC\!\,$ . A semelhança leva a duas razões:

{\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AC}}}\,

e

{\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {HB}}{\overline {CB}}}.\,

Isto pode ser escrito como:

{\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}\times {\overline {AH}}

e

{\overline {CB}}^{2}={\overline {AB}}\times {\overline {HB}}.

Somando as duas igualdades, obtemos:

{\overline {AC}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {AB}}\times {\overline {AH}}+{\overline {AB}}\times {\overline {HB}}={\overline {AB}}\times ({\overline {AH}}+{\overline {HB}})={\overline {AB}}^{2}.\,

Em outras palavras, o Teorema de Pitágoras:

{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}.\,

Por equivalência de polígonos

Esta demonstração se baseia na congruência de triângulos e na equivalência de área de quadriláteros.

Dado ${\color {Blue}\triangle }ABC$ retângulo em $B\,\!$ e seja ${\overline {BH}}$ a altura relativa à hipotenusa, marcamos na semi-reta ${\overrightarrow {BH}}$ um ponto $F\,\!$ tal que ${\overline {HF}}\cong {\overline {AC}}$ (lembre que ${\overline {AC}}$ é a hipotenusa). Então construímos o retângulo $AHFG\,\!$ (lembre que ${\overline {AH}}$ é a projeção de ${\overline {AB}}$ ).

Agora construímos ${\color {OliveGreen}\square }ABED$ . A semi-reta ${\overrightarrow {DE}}$ intercepta ${\overrightarrow {GA}}$ em um ponto $I\,\!$ , assim como ${\overrightarrow {HB}}$ em um ponto $J\,\!$ . Temos o paralelogramo $ABJI\,\!$ .

Como ${\color {OliveGreen}\square }ABED$ e $ABJI\,\!$ são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área.

Por definição de quadrado, segue que ${\overline {AD}}\cong {\overline {AB}}$ , e também ${\color {OliveGreen}\angle }ADE$ é reto. Portanto, ${\color {OliveGreen}\angle }ADE\cong {\color {Blue}\angle }ABC$ .

${\color {OliveGreen}\angle }DAI$ e ${\color {Blue}\angle }BAC$ são ambos suplementares de $\angle IAB$ . Portanto, ${\color {OliveGreen}\angle }DAI\cong {\color {Blue}\angle }BAC$ .

Segue pelo critério lado-ângulo-ângulo de congruência de triângulos que ${\color {Blue}\triangle }ABC\cong {\color {OliveGreen}\triangle }ADI$ . Portanto, ${\overline {AI}}\cong {\overline {AC}}$ , e por extensão, ${\overline {AI}}\cong {\overline {HF}}$ .

Como $ABJI\,\!$ e $AHGFI\,\!$ são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área. Ou seja, a área do quadrado sobre um cateto é igual à área do retângulo determinado pela projeção deste cateto e um segmento congruente à hipotenusa. Como a união do retângulo determinado por ${\overline {AH}}$ e ${\overline {HF}}$ com o retângulo determinado por ${\overline {HC}}$ e ${\overline {HF}}$ é igual ao quadrado sobre ${\overline {AC}}$ , segue que a soma das áreas dos quadrados sobre os catetos é igual a área do quadrado sobre a hipotenusa.

Q.E.D.

Aplicações do Teorema

Com o teorema de Pitágoras, pode-se calcular o comprimento da hipotenusa de um triângulo conhecendo apenas o comprimento de cada cateto deste. Ou ainda, calcular o comprimento de um cateto conhecendo apenas a medida da hipotenusa e de outro cateto. O teorema de Pitágoras pode também ser usado para calcular o comprimento da diagonal de um retângulo conhecendo apenas os lados deste.

Exemplos

Seja $ABC\,\!$ um triângulo retângulo no qual ${\overline {AB}}\,\!$ consista em um dos catetos o qual mede 3 metros de comprimento e ${\overline {AC}}\,\!$ consista em outro cateto o qual mede 4 metros de comprimento. Calcule o comprimento da hipotenusa ${\overline {BC}}\,\!$ .

- Resolução

Dado o Teorema de Pitágoras,

{\overline {BC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\!\,

, tem-se que

{\overline {AB}}=3\!\,

e

{\overline {AC}}=4\!\,

, portanto:

{\overline {BC}}^{2}=3^{2}+4^{2}\!\,

{\overline {BC}}^{2}=9+16\!\,

{\overline {BC}}^{2}=25\!\,

{\sqrt {{\overline {BC}}^{2}}}={\sqrt {25}}\!\,

{\overline {BC}}=5\!\,

A hipotenusa do triângulo

ABC\,\!

mede 5 metros.

Um triângulo retângulo tem os lados $a\!\,$ , $b\!\,$ e $c\!\,$ , sendo que $a\!\,$ é um cateto e mede 1 centímetro de comprimento, enquanto $c\!\,$ é a hipotenusa e mede 2 centímetros. Calcule o comprimento do cateto $b\!\,$

- Resolução

Dado o Teorema de Pitágoras,

c^{2}=a^{2}+b^{2}\!\,

, tem-se que

a=1\!\,

e

c=2\!\,

, portanto:

2^{2}=1^{2}+b^{2}\!\,

4=1+b^{2}\!\,

4-1=1+b^{2}-1\!\,

3=b^{2}\!\,

{\sqrt {3}}={\sqrt {b^{2}}}\!\,

b={\sqrt {3}}\!\,

O cateto

b\!\,

mede

{\sqrt {3}}\!\,

centímetros de comprimento.

Triângulos retângulo notáveis

Triângulo 3_4_5

Prova visual para o triângulo (3, 4, 5), Chou Pei Suan Ching 500–200 d.C.

Um "triângulo 3_4_5" é qualquer triângulo retângulo que tenha esta proporção de lados. Ou seja, um triângulo cujo um dos catetos tem o comprimento $l_{1}\!\,$ , outro cateto, o comprimento $l_{2}\!\,$ e a hipotenusa, $l_{3}\!\,$ ; tal que haja um número $n\!\,$ que:

${l_{1} \over n}=3$

${l_{2} \over n}=4$

${l_{3} \over n}=5$

A consciência desta proporção permite, a partir do comprimento de dois lados de um triângulo 3_4_5, inferir rapidamente o comprimento do terceiro lado. Por exemplo, sabendo que um triângulo tem um lado de 6 metros e outro de 8 metros, pode-se inferir corretamente que o outro lado tem 10 metros (onde n=2).

Triângulo 45º_45º_90º

O chamado "triângulo 45º_45º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção entre seus lados é: $1:1:{\sqrt {2}}$ . Ou seja, um triângulo retângulo e isóceles.

Triângulo 20º_70º_90º

O "triângulo 30º_60º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: $1:{\sqrt {3}}:2$ .

Exercícios resolvidos

Na comédia antiga Diálogo dos mortos, do poeta satírico Luciano de Samósata, Hermes empilha as montanhas Ossa e Pelion sobre o Olimpo, na esperança de, a partir de um ponto de vista mais alto, poder mostrar toda a Terra para Caronte; para sua decepção, porém, ele só consegue ver ao oeste, parte da Itália, ao sul, até Creta, ao leste, até a Jônia e, ao norte, até o Danúbio.^[1] Considerando a Terra esférica, que a visão corresponde a um raio tangente, que o ponto mais distante observado seja o ponto de tangência, que a soma da altura dos três montes seja 5 km e que a distância até o ponto de tangência seja 400 km, calcule qual foi o raio da Terra usado por Luciano.

Solução

Considere que Hermes e Caronte estejam no ponto A, e que o ponto mais distante observado seja C. Sabemos o valor de AC e de h, portanto para calcular r basta resolver o triângulo retângulo OAC:

(r+h)^{2}=r^{2}+AC^{2}\,

Simplificando:

r^{2}+2rh+h^{2}=r^{2}+AC^{2}\,

Finalmente:

r={\frac {AC^{2}-h^{2}}{2h}}\,

Aplicando valores ( $AC=400\ km\,$ e $h=5\ km\,$ )

r={\frac {160000-25}{10}}=15997,5\,

Ou, aproximadamente, 16000 km.

Um melhor valor para h seria 6,5 km (somando a altura das três montanhas); usando-se um valor mais próximo do valor real do raio da Terra $r=6400\ km\,$ , obtém-se, pela equação acima, um valor para AC de, aproximadamente, 300 km, o que é razoavelmente próximo das distâncias mencionadas por Luciano.