Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos

Lei dos cossenosEditar

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

     

DemonstraçãoEditar

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.

Considerando a figura, podemos observar três triângulos:  

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:   e  

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

  • Para    
  • Para    

Substituindo   e   em  

 

 

 

Entretanto, pode-se substituir a relação   do triângulo   na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

 

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

 

 

AplicaçãoEditar

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

ExemplosEditar

  • Considere um triângulo de lados     e   sendo que o comprimento de   é 2 metros e o comprimento de   é   metros. Os lados   e   definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de  
    • Resolução
Dada a Lei dos Cossenos,   tem-se que     e   portanto:
            O comprimento de   é 1 metro.
  • Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo
    • Resolução
Dado um triângulo eqüilátero de lados     e   por definição tem-se que   Sejam     e   os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:
              O mesmo vale para   e  
   

Lei dos senosEditar

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

 

DemonstraçãoEditar

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo   qualquer inscrito em uma circunferência de raio   A partir do ponto   pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto   e, ligando   a   formamos um novo triângulo   retângulo em  

Da figura, podemos perceber também que   porque determinam na circunferência uma mesma corda   Desta forma, podemos relacionar:

     

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos   e   teremos as relações:

  e   em que   é a medida do lado   oposto a     é a medida do lado   oposto a   e   é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

  •  

Lei das tangentesEditar

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo   cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

     

DemonstraçãoEditar

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

   

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

 

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

 

 

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

ExercíciosEditar