Matemática elementar/Geometria plana/Polígonos

Polígonos são figuras geométricas planas das formadas por segmentos de reta interligados entre si fechados (linha poligonal fechada).

Elementos dos polígonos

Um polígono possui os seguintes elementos:

• Arestas ou lados: cada um dos segmentos de reta que unem vértices consecutivos: ${\overline {AB}}\$, ${\overline {BC}}\$,${\overline {CD}}\$,${\overline {DE}}\$,${\overline {EA}}\$.
• Perímetro: soma das arestas (ou lados).
• Vértices: ponto de encontro (intersecção) de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.
• Altura: linha vertical que liga as duas extremidades do polígono.
• Diagonais: segmentos que unem dois vértices não consecutivos:${\overline {AC}}\$,${\overline {AD}}\$,${\overline {BD}}\$,${\overline {BE}}\$,${\overline {CE}}\$.
• Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos: ${\hat {a}}\$,${\hat {b}}\$,${\hat {c}}\$,${\hat {d}}\$,${\hat {e}}\$
• Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: ${\hat {a}}_{1}\$,${\hat {b}}_{1}\$,${\hat {c}}_{1}\$,${\hat {d}}_{1}\$,${\hat {e}}_{1}\$.

Classificação

Os polígonos são classificados:

Em termos dos ângulos

Em termos das medidas de seus ângulos, um polígono pode ser:

1. Convexo: se possui todos os seus ângulos internos convexos — isto é, entre 0° e 180°; ou
2. Côncavo: se possui um ângulo interno côncavo — superior a 180°.

Quanto ao número de lados

Não há restrições quanto ao número de lados n de um polígono desde que n ≥ 3. Embora apenas alguns possuam nomenclatura própria, segue uma tabela com alguns destes nomes:

Lados	Nome	Lados	Nome	Lados	Nome
inexistente		11	Undecágono	...
				25	icosikaipentagono
inexistente		12	Dodecágono
				...
3	Triângulo	13	tridecágono	30	triacontágono
4	Quadrilátero	14	tetradecágono	40	tetracontágono
5	Pentágono	15	pentadecágono	50	pentacontágono
6	Hexágono	16	hexadecágono	60	hexacontágono
7	Heptágono	17	heptadecágono	70	heptacontágono
8	Octógono	18	octodecágono	80	octacontágono
9	Eneágono	19	eneadecágono	90	eneacontágono
10	Decágono	20	icoságono	100	hectágono

A título de curiosidade, são mostrados a seguir os nomes de alguns polígonos cujos números de lados são potências de 10:

Lados	Nome
1000	quilógono
1.000.000	megágono
109	gigágono

Triângulos

Veja as páginas triângulos, pontos, linhas e círculos associados a um triângulo e triângulo retângulo.

Quadriláteros

Quadriláteros são as figuras geométricas planas formadas por quatro lados. Eles são classificados em seis tipos, dependendo da proporção entre seus lados e ângulos:

Quadrados

São quadriláteros em que todos os ângulos são iguais (a 90°) e todos os lados têm a mesma medida. Portanto, todos os quadrados apresentam semelhança de ângulos e lados. Pelo fato de o quadrado possuir quatro lados l idênticos, o perímetro P pode ser facilmente deduzido por

A relação entre o lado do quadrado e a sua diagonal.

$P=4l$

Também, para todos os quadrados, pode-se deduzir através do teorema de Pitágoras a sua diagonal d, ora, pois, o quadrado é formado pela união de dois triângulos retângulos idênticos:

$d^{2}=l^{2}+l^{2}\to d^{2}=2l^{2}\to {\sqrt {d^{2}}}={\sqrt {2l^{2}}}=d\to d=l{\sqrt {2}}$

Conclui-se que a diagonal de qualquer quadrado é igual ao produto de seu lado por √2.

Retângulos

Um retângulo é um paralelogramo, cujos lados formam ângulos retos entre si e que, por isso, possui dois lados paralelos verticalmente e os outros dois paralelos horizontalmente. Todos os ângulos internos no retângulo são iguais a 90°, mas seus lados podem ser diferentes. Pode-se considerar o quadrado como um caso particular de um retângulo em que todos os lados têm o mesmo comprimento. O perímetro do retângulo, pode, então, ser deduzido por

$P=2a+2b$

Em que a e b são os lados do retângulo. Igual ao quadrado, a diagonal d do retângulo é dada pelo teorema de Pitágoras:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}$

Losangos

São quadriláteros em que todos os lados possuem a mesma medida, assim como o quadrado. Entretanto, dois de seus ângulos se diferem. Considerando que a figura ao lado é um losango, obrigatoriamente os ângulos A e C são iguais entre si. Os ângulos B e D também são iguais (mas não necessariamente iguais a A e C). O quadrado é um caso particular do losango. O perímetro é dado por:

$P=4l$

Já suas diagonais podem ser calculadas de duas formas: pela lei dos cossenos ou pela regra do paralelogramo. Caso você queira encontrar a diagonal oposta a um certo ângulo, utiliza-se lei dos cossenos. No caso de se querer a diagonal adjacente (a que parte do ângulo), calcula-se usando a regra do paralelogramo. Por exemplo, considere um losango de lados b e c igual a 2, e descubra a medida da diagonal oposta a de um ângulo α de 60°. Pela lei dos cossenos:

$a={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }}$

Então (lembre-se que no losango todos os lados são iguais):

$a={\sqrt {4+4-4}}={\sqrt {4}}=2$

Paralelogramos

São quadriláteros cujos pares de lados opostos são iguais e paralelos. Portanto, o perímetro do paralelogramo é dado da mesma forma que o de um retângulo. Além disso, seus ângulos opostos são idênticos (da mesma forma que o losango), e por isso, a forma de se calcular as diagonais de um paralelogramo é igual a de um losango. Todas as figuras explicadas anteriormente são casos especiais do paralelogramo. Por fim, a regra matemática que leva o nome desta figura diz que:

$a={\sqrt {b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }}$

Em que a é uma semirreta que parte do ângulo α formando uma diagonal adjacente do paralelogramo. Observe a semelhança entre a regra do paralelogramo e a lei dos cossenos: o que muda é o sinal que antecede a expressão 2bc cos α. Exemplo: qual a diagonal adjacente do ângulo 60° de um paralelogramo, formado por lados iguais a 1 e 3?

$a={\sqrt {1+9+3}}={\sqrt {13}}$

Trapézios

São quadriláteros que possuem dois lados paralelos (bases). Desta forma, diferentemente das figuras anteriores, seus ângulos são totalmente livres e independentes entre si. Os ângulos e as diagonais podem ser dados pela lei dos senos, lei dos cossenos ou pela regra do paralelogramo. As diagonais do trapézio x e y dão dadas por

$x={\sqrt {\frac {-ab^{2}+ac^{2}-a^{2}c+cd^{2}}{c-a}}}$

$y={\sqrt {\frac {-ad^{2}+ac^{2}-a^{2}c+b^{2}c}{c-a}}}$

Onde a é a base menor, c a base maior, e b e d os lados adjacentes à base. O perímetro é dado pela soma de todos os lados.

Fórmulas

Ângulos

Para que se determine a soma de todos os ângulos internos de um polígono convexo, aplica-se a seguinte fórmula:

$S_{i}=(n-2)\times 180^{\circ }$

Já a soma dos ângulos externos vale 360º.

$S_{e}=360^{\circ }$

Área

Abaixo estão as fórmulas para a área (A) de cada polígono (perceba que estas fórmulas podem ser incorporadas a outras propriedades dos polígonos, como altura [h], diagonal [d e D], perímetro, ângulos, etc). Considere B e b as bases dos polígonos, e l o lado do quadrado:

Triângulo	$A={\frac {b\times h}{2}}$
Quadrado	$A=l^{2}$
Retângulo	$A=b\times h$
Losango	$A={\frac {D\times d}{2}}$
Paralelogramo	$A=b\times h$
Trapézio	$A={\frac {(B+b)\times h}{2}}$

Polígonos regulares

Triângulo equilátro

Quadrado

Pentágono regular

Hexágono regular

Todo polígono regular possui seus n lados e os ângulos com medidas iguais. Como os ângulos internos e externos são iguais, obtém-se a medida de cada ângulo A (interno ou externo) por:

$A_{i}={\frac {S_{i}}{n}}$

$A_{e}={\frac {S_{e}}{n}}$

Alguns polígonos regulares têm nomes especiais: o triângulo regular é o triângulo equilátero, e o quadrilátero regular é o quadrado. Pelo fato de todos os polígonos regulares serem iguais entre si em ângulos, suas áreas, perímetros, diagonais e alturas podem ser sintetizadas em fórmulas em função de seus lados (ou outra propriedade que não seja o ângulo). Um método muito prático para tal feito é dividir o polígono regular em n triângulos idênticos. Exemplo: qual a fórmula para a área A do hexágono regular em função de seu lado l?

• Primeiramente, traçaremos os triângulos no hexágono:

• Calcularemos a soma dos ângulos internos deste polígono:

$S_{i}=(n-2)\times 180=(6-2)\times 180=720$

• Podemos agora calcular a medida de cada ângulo interno do hexágono regular:

$A_{i}={\frac {S_{i}}{n}}\to {\frac {720}{6}}=120$

• Portanto, os ângulos que formam cada triângulo são de 60° (perceba que cada ângulo de 120° forma dois triângulos). O hexágono é, portanto, formado por seis triângulos equiláteros idênticos. Sabemos que a área do triângulo equilátero é

$A_{t}={\frac {l^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

• Então a área de seis destes triângulos é equivalente à área do polígono. Logo

$A_{hex}=6\times {\frac {l^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {3l^{2}{\sqrt {3}}}{2}}$

Congruência

Dois ângulos são congruentes se, sobrepostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem. Nos paralelogramos, os lados paralelos são congruentes, e dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. Num triângulo equilátero, todos os lados e ângulos são congruentes; nos triângulos isósceles, apenas os lados iguais e os ângulos da base são congruentes.