Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.
Uma das grandes diferenças entre equações trigonométricas e as demais equações é a natureza periódica destas funções.
Assim, enquanto equações do tipo:
3
x
+
4
=
0
{\displaystyle 3x+4=0\,}
x
2
−
4
x
−
7
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x-7=0\,}
possuem uma solução única, ou uma quantidade finita (e pequena) de soluções, uma equação do tipo:
tan
x
=
1
{\displaystyle \tan x=1\,}
admite infinitas soluções - por ser tan uma função periódica de período
π
,
{\displaystyle \pi \,,}
x = a , temos que
x
=
a
+
π
{\displaystyle x=a+\pi \,}
x
=
a
−
π
{\displaystyle x=a-\pi \,}
x
=
a
+
k
π
,
{\displaystyle x=a+k\pi \,,}
k um número inteiro (positivo, negativo ou zero).
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n
{\displaystyle n\,\!}
s
e
n
x
=
n
{\displaystyle \mathrm {sen} \ x=n\,\!}
|
n
|
<
1
{\displaystyle \left|n\right|<1}
x
=
α
+
2
k
π
x
=
π
−
α
+
2
k
π
α
∈
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle {\begin{matrix}x=\alpha +2k\pi \\x=\pi -\alpha +2k\pi \\\alpha \in \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\end{matrix}}}
n
=
−
1
{\displaystyle n=-1\,\!}
x
=
−
π
2
+
2
k
π
{\displaystyle x=-{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}+2k\pi }
n
=
0
{\displaystyle n=0\,\!}
x
=
k
π
{\displaystyle x=k\pi \,\!}
n
=
1
{\displaystyle n=1\,\!}
x
=
π
2
+
2
k
π
{\displaystyle x={\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}+2k\pi }
|
n
|
>
1
{\displaystyle \left|n\right|>1}
x
∈
∅
{\displaystyle x\in \varnothing }
A equação
s
e
n
x
=
n
{\displaystyle \mathrm {sen} \,x=n}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
α
{\displaystyle \alpha }
α
=
s
e
n
−
1
n
{\displaystyle \alpha =\mathrm {sen} \,^{-1}n\,\!}
Neste caso, as soluções são dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):
x
=
α
+
2
k
π
{\displaystyle x=\alpha +2k\pi \,\!}
x
=
π
−
α
+
2
k
π
{\displaystyle x=\pi -\alpha +2k\pi \,\!}
Em que
k
{\displaystyle k}
Quando n = 1, 0 ou -1 , estas soluções tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado.
Resolva:
s
e
n
x
2
=
3
2
{\displaystyle \mathrm {sen} \,{\frac {x}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}
Primeiro, deve-se determinar um valor para
α
:
{\displaystyle \alpha :}
α
=
s
e
n
−
1
3
2
=
π
3
{\displaystyle \alpha =\mathrm {sen} \,^{-1}{\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\pi }{3}}}
Substituindo nas fórmulas, temos:
x
2
=
π
3
+
2
k
π
{\displaystyle {\frac {x}{2}}={\frac {\pi }{3}}+2k\pi }
ou
x
2
=
π
−
π
3
+
2
k
π
{\displaystyle {\frac {x}{2}}=\pi -{\frac {\pi }{3}}+2k\pi }
Resolvendo estas equações em x chega-se à resposta final:
x
=
2
π
3
(
1
+
6
k
)
{\displaystyle x={\frac {2\pi }{3}}\left(1+6k\right)}
ou
x
=
4
π
3
(
1
+
3
k
)
{\displaystyle x={\frac {4\pi }{3}}\left(1+3k\right)}
Em que k é um número inteiro.
Resolva:
s
e
n
(
x
+
π
)
=
1
2
{\displaystyle \mathrm {sen} \,(x+\pi )={\frac {1}{2}}\,}
Substituindo
y
=
x
+
π
:
{\displaystyle y=x+\pi \,:}
s
e
n
y
=
1
2
{\displaystyle \mathrm {sen} \,y={\frac {1}{2}}\,}
Sabemos que
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\,}
y deve valer:
y
=
π
6
+
2
k
π
{\displaystyle y={\frac {\pi }{6}}+2k\pi }
ou
y
=
π
−
π
6
+
2
k
π
{\displaystyle y=\pi -{\frac {\pi }{6}}+2k\pi }
Substituindo o valor de
x
=
y
−
π
{\displaystyle x=y-\pi \,}
x
=
π
6
−
π
+
2
k
π
{\displaystyle x={\frac {\pi }{6}}-\pi +2k\pi }
ou
x
=
π
−
π
6
−
π
+
2
k
π
{\displaystyle x=\pi -{\frac {\pi }{6}}-\pi +2k\pi }
Ou seja:
x
=
−
5
π
6
+
2
k
π
{\displaystyle x=-{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi }
ou
x
=
−
π
6
+
2
k
π
{\displaystyle x=-{\frac {\pi }{6}}+2k\pi }
Esta solução está correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ângulos na forma
x
=
α
+
2
k
π
,
{\displaystyle x=\alpha +2k\pi \,,}
0
≤
α
<
2
π
,
{\displaystyle 0\leq \alpha <2\pi ,}
Para isso, como k é um número inteiro qualquer, ele pode ser substituído por qualquer outra expressão que também indica um número inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10 , k + 42 , k - 1000 , etc.
No caso, como queremos tornar a parte sem k em um número entre 0 e 2 π , temos que substituir k por k+1 , obtendo:
x
=
−
5
π
6
+
2
(
k
+
1
)
π
{\displaystyle x=-{\frac {5\pi }{6}}+2(k+1)\pi }
ou
x
=
−
π
6
+
2
(
k
+
1
)
π
{\displaystyle x=-{\frac {\pi }{6}}+2(k+1)\pi }
Finalmente:
x
=
7
π
6
+
2
k
π
{\displaystyle x={\frac {7\pi }{6}}+2k\pi }
ou
x
=
11
π
6
+
2
k
π
{\displaystyle x={\frac {11\pi }{6}}+2k\pi }
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![{\displaystyle {\begin{matrix}x=\alpha +2k\pi \\x=\pi -\alpha +2k\pi \\\alpha \in \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d8cd8bb4ea91ec7ad03034ffcdd43109759198)
