Matemática elementar/Trigonometria/Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas


ConceitoEditar

Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.

Uma das grandes diferenças entre equações trigonométricas e as demais equações é a natureza periódica destas funções.

Assim, enquanto equações do tipo:

 
 

possuem uma solução única, ou uma quantidade finita (e pequena) de soluções, uma equação do tipo:

 

admite infinitas soluções - por ser tan uma função periódica de período   para cada solução x = a, temos que   e   também serão soluções, assim como qualquer valor   sendo k um número inteiro (positivo, negativo ou zero).

Equações do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) = nEditar

sen(x) = nEditar

   
   
   
   
   
   

A equação   só tem soluções quando   está no intervalo [-1; 1]. Se   está neste intervalo, então é preciso primeiro determinar um ângulo   tal que:

 

Neste caso, as soluções são dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):

 
 

Em que   é qualquer inteiro.

Quando n = 1, 0 ou -1, estas soluções tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado.

ExemploEditar

Resolva:

 

Primeiro, deve-se determinar um valor para  

 

Substituindo nas fórmulas, temos:

 
ou
 

Resolvendo estas equações em x chega-se à resposta final:

 
ou
 

Em que k é um número inteiro.

Outro exemploEditar

Resolva:

 

Substituindo  

 

Sabemos que   é um ângulo cujo seno vale 1/2. Portanto, y deve valer:

 
ou
 

Substituindo o valor de  

 
ou
 

Ou seja:

 
ou
 

Esta solução está correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ângulos na forma   em que  

Para isso, como k é um número inteiro qualquer, ele pode ser substituído por qualquer outra expressão que também indica um número inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10, k + 42, k - 1000, etc.

No caso, como queremos tornar a parte sem k em um número entre 0 e 2 π, temos que substituir k por k+1, obtendo:

 
ou
 

Finalmente:

 
ou
 

Equações com restrição no domínioEditar

Determinação do domínioEditar

Equações com mais de uma função trigonométricaEditar

ExercíciosEditar