Matemática elementar/Trigonometria/Transformações de soma de funções trigonométricas em produtos

As fórmulas de transformação de soma e diferença em produto, também conhecidas como Fórmulas de Prostaférese, são:

$\mathrm {sen} \,(x)+\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\mathrm {sen} \,(x)-\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)$

$\mathrm {cos} \,(x)+\mathrm {cos} \,(y)=2\cdot \mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\mathrm {cos} \,(x)-\mathrm {cos} \,(y)=-2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$

Dedução - soma e diferença dos senos

Partindo das fórmulas do seno da soma de arcos:

$\mathrm {sen} \,(a+b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$

$\mathrm {sen} \,(a-b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$

Somando-as membro a membro:

$\mathrm {sen} \,(a+b)+\mathrm {sen} \,(a-b)=2\cdot \mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)(I)$

Fazendo:

$x=a+b:$ $y=a-b$

Temos:

$a={\frac {x+y}{2}}$

$b={\frac {x-y}{2}}$

Substituindo a e b, em (I):

$\mathrm {sen} \,(x)+\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$

Procedendo da mesma forma, novamente a partir de:

$\mathrm {sen} \,(a+b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$

$\mathrm {sen} \,(a-b)=\mathrm {sen} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$

Subtraindo-as membro a membro:

$\mathrm {sen} \,(a+b)-\mathrm {sen} \,(a-b)=2\cdot \mathrm {sen} \,(b)\mathrm {cos} \,(a)$ (II)

Substituindo a e b, em (II):

$\mathrm {sen} \,(x)-\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)$

Dedução - soma e diferença dos cossenos

Agora para a função cosseno

$\mathrm {cos} \,(a+b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$

$\mathrm {cos} \,(a-b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$

Somando-as membro a membro:

$\mathrm {cos} \,(a+b)+\mathrm {cos} \,(a-b)=2\cdot \mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)$ (III)

Substituindo a e b, em (III):

$\mathrm {cos} \,(x)+\mathrm {cos} \,(y)=2\cdot \mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$

E por fim:

$\mathrm {cos} \,(a+b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)-\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$

$\mathrm {cos} \,(a-b)=\mathrm {cos} \,(a)\mathrm {cos} \,(b)+\mathrm {sen} \,(b)\mathrm {sen} \,(a)$

Subtraindo-as membro a membro:

$\mathrm {cos} \,(a+b)-\mathrm {cos} \,(a-b)=-2\cdot \mathrm {sen} \,(a)\mathrm {sen} \,(b)$ (IV)

Substituindo a e b, em (IV):

$\mathrm {cos} \,(x)-\mathrm {cos} \,(y)=-2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)$

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