As fórmulas de transformação de soma e diferença em produto, também conhecidas como Fórmulas de Prostaférese[1], são:
![{\displaystyle \mathrm {sen} \,(x)+\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771ff37894b920b252c93df056d0b2940b8758f3)
![{\displaystyle \mathrm {sen} \,(x)-\mathrm {sen} \,(y)=2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83150a9cb4cefdc3d6281343f2c750c5f564661)
![{\displaystyle \mathrm {cos} \,(x)+\mathrm {cos} \,(y)=2\cdot \mathrm {cos} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {cos} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b976721df079c112155b51c4209de3c8ca1efd45)
![{\displaystyle \mathrm {cos} \,(x)-\mathrm {cos} \,(y)=-2\cdot \mathrm {sen} \,\left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {sen} \,\left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f2622fbcaccdb724cd8dbe3288be8dd8107b8b)
Dedução - soma e diferença dos senos
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Partindo das fórmulas do seno da soma de arcos:
-
-
Somando-as membro a membro:
-
Fazendo:
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Temos:
-
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Substituindo a e b, em (I):
-
Procedendo da mesma forma, novamente a partir de:
-
-
Subtraindo-as membro a membro:
- (II)
Substituindo a e b, em (II):
-
Dedução - soma e diferença dos cossenos
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Agora para a função cosseno
-
-
Somando-as membro a membro:
- (III)
Substituindo a e b, em (III):
-
E por fim:
-
-
Subtraindo-as membro a membro:
- (IV)
Substituindo a e b, em (IV):
-
Referências