Mecânica dos fluidos/Equações para linhas de fluxo

Equações para linhas de fluxo

Linhas de corrente

Como as linhas de corrente são, em cada instante, tangentes à velocidade do fluxo, temos que, para uma linha de corrente λ_s qualquer

${\frac {dy}{dx}}\left.{\frac {}{}}\right|_{\lambda s}\;=\;{\frac {v_{y}}{v_{x}}}\Rightarrow \;\;\;v_{x}dy\;-\;v_{y}dx\;=\;0$

Introduzindo uma função ψ tal que dψ = v_xdy - v_ydx, teremos dψ = 0, ou seja, ψ = constante. Essa função ψ é chamada função corrente (ing. stream function). Cada linha de corrente λ_s corresponde, então, a um valor fixo de ψ. Esse valor é arbitrário, uma vez que é a diferencial dψ que é definida univocamente, não a função em si.

De acordo com o teorema de Euler sobre as diferenciais exatas, dψ = v_xdy - v_ydx = P(x,y)dy + Q(x,y)dx será uma diferencial exata se

$P(x,y)\;=\;v_{x}\;=\;{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\qquad Q(x,y)\;=\;-v_{y}\;=\;{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

Assim

$\psi \;=\;\int d\psi \;=\;\int (v_{x}dy\;-\;v_{y}dx)\;=\;\int \left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}\;dy\;+\;{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\;dx\right)$

Uma propriedade interessante da função corrente é que ela satisfaz a equação de continuidade para um fluido incompressível em escoamento bidimensional:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;+\;(\nabla \cdot (\rho {\vec {v}}))\;=\;\rho \nabla \cdot {\vec {v}}\;=\;\rho \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right)\;=\;\rho \left({\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\;-\;{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)\;=\;\rho \left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}\;-\;{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}\right)\;=\;0$

A dimensão de ψ é [L².t^-1], o mesmo da vazão volumétrica Φ definida anteriormente . A diferença dos valores de ψ entre duas linhas de corrente ψ₁ e ψ₂ é chamada taxa de vazão volumétrica; a diferença dos valores do produto ρψ entre duas linhas de corrente é chamada taxa de vazão mássica, e sua dimensão é [M.L^-1.t^-1].

O volume de fluido que escoa entre duas linhas de corrente adjacentes (Δψ = 1) é o mesmo. Assim, em regiões onde as linhas de corrente são mais próximas entre si, a velocidade do fluido é maior, uma vez que a área transversal é menor. As linhas de corrente, dessa forma, são um bom indicador visual do comportamento do fluido na região.