Um cilindro de 12 cm de raio gira no interior de outro, que está fixo, e cujo raio mede 12.6 cm. Os eixos dos cilindros são concêntricos e ambos têm 30 cm de comprimento. É necessário aplicar um torque de 9.0 kg.cm para manter a velocidade de rotação em 60 rpm. Determinar a viscosidade do fluido que preenche o espaço entre os cilindros.
r1
12 cm
r2
12.6 cm
l
30 cm
ω1
60 rpm
ω2
0 rpm
Ω
9.0 kg.cm
μ
a calcular
Como o espaço entre os cilindros é pequeno perante as demais dimensões do problema, vamos considerar valores médios para todas as variáveis. Além disso, aproximaremos dv/dy nesse espaço por Δv/Δy.
O torque aplicado gera uma tensão na superfície do fluido que está em contato com o cilindro móvel. O torque é dado pelo produto da força aplicada aos cilindros pelo raio vetor; a força, por sua vez, é o produto da tensão pela área de aplicação:
Ω
=
τ
⋅
A
¯
⋅
r
¯
⇒
τ
=
Ω
A
¯
⋅
r
¯
=
Ω
2
π
r
¯
l
⋅
r
¯
{\displaystyle \Omega \;=\;\tau \cdot {\bar {A}}\cdot {\bar {r}}\Rightarrow \;\;\;\tau \;=\;{\frac {\Omega }{{\bar {A}}\cdot {\bar {r}}}}\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi {\bar {r}}l\cdot {\bar {r}}}}}
A velocidade tangencial do cilindro móvel é
v
1
=
ω
1
r
1
{\displaystyle v_{1}\;=\;\omega _{1}r_{1}}
Essa é a velocidade do fluido que está em contato com a superfície do cilindro, onde a tensão τ é aplicada. A velocidade na outra superfície é nula. Essas superfícies distam Δr = r2 - r1 uma da outra. A viscosidade do fluido será então dada por
μ
=
τ
v
1
Δ
r
=
Ω
2
π
r
¯
l
⋅
r
¯
⋅
ω
1
r
1
r
2
−
r
1
=
Ω
(
r
2
−
r
1
)
2
π
r
1
l
ω
1
r
¯
2
=
Ω
(
r
2
−
r
1
)
2
π
r
1
l
ω
1
(
r
2
+
r
1
2
)
2
{\displaystyle \mu \;=\;{\frac {\tau }{\frac {v_{1}}{\Delta r}}}\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi {\bar {r}}l\cdot {\bar {r}}\cdot {\frac {\omega _{1}r_{1}}{r_{2}\;-\;r_{1}}}}}\;=\;{\frac {\Omega (r_{2}\;-\;r_{1})}{2\pi r_{1}l\omega _{1}{\bar {r}}^{2}}}\;=\;{\frac {\Omega (r_{2}\;-\;r_{1})}{2\pi r_{1}l\omega _{1}({\frac {r_{2}\;+\;r_{1}}{2}})^{2}}}}
μ
=
2
Ω
(
r
2
−
r
1
)
π
r
1
l
ω
1
(
r
1
+
r
2
)
2
{\displaystyle \mu \;=\;{\frac {2\Omega (r_{2}\;-\;r_{1})}{\pi r_{1}l\omega _{1}(r_{1}\;+\;r_{2})^{2}}}}
=
2
⋅
9.0
k
g
⋅
c
m
⋅
(
12.6
c
m
−
12
c
m
)
π
⋅
12
c
m
⋅
30
c
m
⋅
60
r
p
m
⋅
(
12
c
m
+
12.6
c
m
)
2
{\displaystyle \;=\;{\frac {2\cdot 9.0\;kg\cdot cm\cdot (12.6\;cm\;-\;12\;cm)}{\pi \cdot 12\;cm\cdot 30\;cm\cdot 60\;rpm\cdot (12\;cm\;+\;12.6\;cm)^{2}}}}
=
2
⋅
0.09
k
g
⋅
m
⋅
(
0.126
m
−
0.12
m
)
π
⋅
0.12
m
⋅
0.3
m
⋅
60
⋅
2
π
r
a
d
60
s
⋅
(
0.12
m
+
0.126
m
)
2
{\displaystyle \;=\;{\frac {2\cdot 0.09\;kg\cdot m\cdot (0.126\;m\;-\;0.12\;m)}{\pi \cdot 0.12\;m\cdot 0.3\;m\cdot {\frac {60\cdot 2\pi \;rad}{60\;s}}\cdot (0.12\;m\;+\;0.126\;m)^{2}}}}
=
0.025
k
g
⋅
s
/
m
2
{\displaystyle \;=\;0.025\;kg\cdot s/m^{2}}
Para um valor mais preciso, vamos considerar a tensão τ e a velocidade v como funções da posição r:
Ω
=
τ
⋅
A
⋅
r
⇒
τ
=
Ω
A
⋅
r
=
Ω
2
π
r
2
l
{\displaystyle \Omega \;=\;\tau \cdot A\cdot r\Rightarrow \;\;\;\tau \;=\;{\frac {\Omega }{A\cdot r}}\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi r^{2}l}}}
Mas
τ
=
μ
d
v
d
r
⇒
d
v
=
1
μ
τ
d
r
=
1
μ
⋅
Ω
2
π
r
2
l
d
r
{\displaystyle \tau \;=\;\mu {\frac {dv}{dr}}\Rightarrow \;\;\;dv\;=\;{\frac {1}{\mu }}\tau dr\;=\;{\frac {1}{\mu }}\cdot {\frac {\Omega }{2\pi r^{2}l}}\;dr}
Logo
v
1
−
v
2
=
∫
v
2
v
1
d
v
=
Ω
2
π
l
μ
∫
r
2
r
1
1
r
2
d
r
{\displaystyle v_{1}\;-\;v_{2}\;=\;\int _{v_{2}}^{v_{1}}dv\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi l\mu }}\int _{r_{2}}^{r_{1}}{\frac {1}{r^{2}}}dr}
v
1
−
0
=
Ω
2
π
l
μ
⋅
1
r
|
r
2
r
1
=
Ω
2
π
l
μ
(
1
r
1
−
1
r
2
)
{\displaystyle v_{1}\;-\;0\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi l\mu }}\left.\cdot {\frac {1}{r}}\right|_{r_{2}}^{r_{1}}\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi l\mu }}\left({\frac {1}{r_{1}}}\;-\;{\frac {1}{r_{2}}}\right)}
Assim
μ
=
Ω
2
π
l
v
1
(
1
r
1
−
1
r
2
)
=
Ω
2
π
l
ω
1
r
1
(
1
r
1
−
1
r
2
)
{\displaystyle \mu \;=\;{\frac {\Omega }{2\pi lv_{1}}}\left({\frac {1}{r_{1}}}\;-\;{\frac {1}{r_{2}}}\right)\;=\;{\frac {\Omega }{2\pi l\omega _{1}r_{1}}}\left({\frac {1}{r_{1}}}\;-\;{\frac {1}{r_{2}}}\right)}
=
0.09
k
g
⋅
m
2
π
⋅
0.3
m
⋅
2
π
r
a
d
⋅
s
−
1
⋅
0.12
m
(
1
0.12
m
−
1
0.126
m
)
{\displaystyle \;=\;{\frac {0.09\;kg\cdot m}{2\pi \cdot 0.3\;m\cdot 2\pi \;rad\cdot s^{-1}\cdot 0.12\;m}}\left({\frac {1}{0.12\;m}}\;-\;{\frac {1}{0.126\;m}}\right)}
=
0.025
k
g
⋅
s
/
m
2
{\displaystyle \;=\;0.025\;kg\cdot s/m^{2}}
O valor indica que a simplificação considerada na Solução 1 era razoável.