Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C10

Enunciado

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Um pistão move-se horizontalmente dentro de um cilindro cheio de gás, atingindo a velocidade de 12 m/s quando distante 0.15 m da parede lateral. Neste momento, a densidade do gás é de 18 kg/m3 e uniforme dentro do cilindro. A velocidade do gás varia linearmente a partir do repouso para pontos adjacentes à parede lateral até v0 para pontos adjacentes ao pistão. Derive uma expressão para o valor da densidade média no cilindro e calcule taxa de variação da densidade nesse instante.

Solução

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Escolhamos a origem dos eixos coordenados sobre a parede lateral do cilindro. Do enunciado, a velocidade do gás é dada por


 


Assim


 


Além disso, podemos escrever  


Logo


 


De acordo com a equação de continuidade


 


pois vy = vz = 0. Assim


 


pois, de acordo com o enunciado, a densidade não varia com a posição x dentro do cilindro, apenas com o tempo. Logo,