Um pistão move-se horizontalmente dentro de um cilindro cheio de gás, atingindo a velocidade de 12 m/s quando distante 0.15 m da parede lateral. Neste momento, a densidade do gás é de 18 kg/m3 e uniforme dentro do cilindro. A velocidade do gás varia linearmente a partir do repouso para pontos adjacentes à parede lateral até v0 para pontos adjacentes ao pistão. Derive uma expressão para o valor da densidade média no cilindro e calcule taxa de variação da densidade nesse instante.
Escolhamos a origem dos eixos coordenados sobre a parede lateral do cilindro. Do enunciado, a velocidade do gás é dada por
v
→
=
v
x
u
→
x
=
(
a
x
+
b
)
u
→
x
v
x
(
x
=
0
)
=
0
v
x
(
=
L
)
=
v
0
{\displaystyle {\vec {v}}\;=\;v_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;=\;(a\;x\;\;+\;b){\vec {u}}_{x}\qquad v_{x}(x\;=\;0)=0\qquad v_{x}(\;=\;L)=v_{0}}
v
x
=
v
0
L
x
{\displaystyle v_{x}\;=\;{\frac {v_{0}}{L}}\;x}
Além disso, podemos escrever
L
=
L
0
+
v
0
t
{\displaystyle L\;=\;L_{0}\;+\;v_{0}t}
v
x
=
v
0
L
0
+
v
0
t
x
{\displaystyle v_{x}\;=\;{\frac {v_{0}}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\;x}
∇
⋅
ρ
v
→
+
∂
ρ
∂
t
=
0
⇒
∂
ρ
v
x
∂
x
+
∂
ρ
∂
t
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \rho {\vec {v}}\;+\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial \rho v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;0}
y = vz = 0. Assim
ρ
∂
v
x
∂
x
+
v
x
∂
ρ
∂
x
+
∂
ρ
∂
t
=
0
⇒
ρ
∂
∂
x
v
0
x
L
0
+
v
0
t
+
∂
ρ
∂
t
=
0
{\displaystyle \rho \;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{x}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;\rho \;{\frac {\partial }{\partial x}}\;{\frac {v_{0}x}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\;+\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;0}
ρ
v
0
L
0
+
v
0
t
+
∂
ρ
∂
t
=
0
⇒
d
ρ
ρ
=
−
v
0
L
0
+
v
0
t
d
t
{\displaystyle \rho \;{\frac {v_{0}}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\;+\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;-\;{\frac {v_{0}}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\;dt}
∫
ρ
0
ρ
d
ρ
ρ
=
−
∫
0
t
v
0
L
0
+
v
0
t
d
t
⇒
ln
ρ
ρ
0
=
−
ln
L
0
+
v
0
t
L
0
{\displaystyle \int _{\rho 0}^{\rho }{\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;-\int _{0}^{t}{\frac {v_{0}}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\;dt\Rightarrow \;\;\;\ln {\frac {\rho }{\rho _{0}}}\;=\;-\;\ln {\frac {L_{0}\;+\;v_{0}t}{L_{0}}}}
ρ
=
ρ
0
L
0
L
0
+
v
0
t
⇒
d
ρ
d
t
=
−
ρ
0
L
0
v
0
(
L
0
+
v
0
t
)
2
{\displaystyle \rho \;=\;{\frac {\rho _{0}L_{0}}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\Rightarrow \;\;\;{\frac {d\rho }{dt}}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}L_{0}v_{0}}{(L_{0}\;+\;v_{0}t)^{2}}}}
d
ρ
d
t
|
t
=
0
=
−
ρ
0
L
0
v
0
(
L
0
+
v
0
⋅
0
)
2
=
−
ρ
0
v
0
L
0
=
−
18
k
g
/
m
3
⋅
12
m
/
s
0.15
m
=
−
1400
k
g
⋅
m
−
3
⋅
s
−
1
{\displaystyle \left.{\frac {d\rho }{dt}}\right|_{t\;=\;0}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}L_{0}v_{0}}{(L_{0}\;+\;v_{0}\cdot 0)^{2}}}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}v_{0}}{L_{0}}}\;=\;-\;{\frac {18\;kg/m^{3}\cdot 12\;m/s}{0.15\;m}}\;=\;-1400\;kg\cdot m^{-3}\cdot s^{-1}}
