Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C11

Enunciado

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Deduza a equação de Bernoulli a partir da forma diferencial da primeira lei da termodinâmica.

Solução

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A forma diferencial da primeira lei da termodinâmica é a seguinte:


 


Para fluidos incompressíveis e com viscosidade nula, σ = - p, ρ1 = ρ2 = ρ0. Além disso, a quantidade de calor fornecida ao elemento de volume é, por hipótese, nula. Assim, a diferença na energia interna u1 - u2 só poderá dever-se a alguma variação na energia potencial gravitacional (gz1 - gz2). Logo:


 


 


que é a equação procurada.

Quando houver fluxo de calor para o elemento de volume, a equação continuará sendo válida, contanto que


 


onde δuT é a variação da energia térmica do elemento de volume. A função de Gibbs


 


onde S é a entropia, é válida para qualquer substância pura, em qualquer processo; para um fluido incompressível, dV = 0. Logo


 


 


A igualdade vale quando o processo é reversível. Assim, a equação de Bernoulli é válida também para a situação em que calor é fornecido ao elemento de volume, contanto que o fluido seja uma substância pura e o processo seja reversível.