Água flui em um canal aberto de 3 m de diâmetro a uma velocidade de 0.5 m/s até atingir uma parede vertical com uma abertura de diâmetro igual a 0.4 m localizada na sua base. Comparar a força exercida pelo líquido sobre a parede nessas condições e quando a abertura está fechada por uma comporta.
Dados do problema
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D1
3 m
D2
0.4 m
ventra
0.5 m/s
F1
a calcular
F2
a calcular
ρ = 1000 kg/m3
Como se trata de um canal livre, é mais fácil usar pressões manométricas. Seja F1 a força sobre a parede com a comporta fechada e F2 a força sobre a parede com a comporta aberta. No primeiro caso, apenas forças hidrostáticas estão presentes, e ventra = vsai = 0. Assim,
F
1
=
F
H
1
=
p
c
1
A
V
1
=
(
ρ
g
h
c
1
)
(
π
D
1
2
4
)
=
(
ρ
g
D
1
2
)
(
π
D
1
2
4
)
{\displaystyle F_{1}\;=\;F_{H1}\;=\;p_{c1}\;A_{V1}\;=\;(\rho gh_{c1})\;(\pi {\frac {D_{1}^{2}}{4}})\;=\;(\rho g{\frac {D_{1}}{2}})\;\left(\pi {\frac {D_{1}^{2}}{4}}\right)}
c1 é a pressão no centro geométrico da parede e hc1 é a profundidade desse centro. Logo,
F
H
1
=
π
ρ
g
D
1
3
8
=
3.1
⋅
1000
k
g
/
m
⋅
9.8
m
/
s
2
⋅
(
3
m
)
3
8
=
103000
N
{\displaystyle F_{H1}\;=\;\pi \rho g{\frac {D_{1}^{3}}{8}}\;=\;3.1\cdot 1000\;kg/m\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot {\frac {(3\;m)^{3}}{8}}\;=\;103000\;N}
2 , apliquemos a equação da continuidade e a lei de conservação do momento linear sobre o volume de controle escolhido de forma a contornar o canal antes e depois da comporta:
∂
∂
t
∫
C
ρ
d
V
+
∫
S
ρ
(
v
→
⋅
d
S
→
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho dV\;+\;\int _{S}\rho ({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;0}
F
→
=
∂
∂
t
∫
C
ρ
v
d
V
+
∫
S
ρ
v
→
(
v
→
⋅
d
S
→
)
{\displaystyle {\vec {F}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho vdV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})}
0
+
ρ
(
−
v
e
n
t
r
a
A
e
n
t
r
a
+
v
s
a
i
A
s
a
i
)
=
0
⇒
v
s
a
i
=
v
e
n
t
r
a
A
e
n
t
r
a
A
s
a
i
{\displaystyle 0\;+\;\rho \left(-\;v_{entra}A_{entra}\;+\;v_{sai}A_{sai}\right)\;=\;0\Rightarrow \;\;\;v_{sai}\;=\;{\frac {v_{entra}A_{entra}}{A_{sai}}}}
F
→
=
0
+
ρ
(
−
v
e
n
t
r
a
2
A
e
n
t
r
a
+
v
s
a
i
2
A
s
a
i
)
u
→
x
=
ρ
(
−
v
e
n
t
r
a
2
A
e
n
t
r
a
+
(
v
e
n
t
r
a
A
e
n
t
r
a
A
s
a
i
)
2
A
s
a
i
)
u
→
x
{\displaystyle {\vec {F}}\;=\;0\;+\;\rho \left(-\;v_{entra}^{2}A_{entra}\;+\;v_{sai}^{2}A_{sai}\right)\;{\vec {u}}_{x}\;=\;\rho \left(-\;v_{entra}^{2}A_{entra}\;+\;\left({\frac {v_{entra}A_{entra}}{A_{sai}}}\right)^{2}A_{sai}\right)\;{\vec {u}}_{x}}
F
→
=
ρ
v
e
n
t
r
a
2
A
e
n
t
r
a
(
A
e
n
t
r
a
A
s
a
i
−
1
)
u
→
x
=
ρ
v
e
n
t
r
a
2
π
D
1
2
4
(
D
1
2
D
2
2
−
1
)
u
→
x
{\displaystyle {\vec {F}}\;=\;\rho v_{entra}^{2}A_{entra}\left({\frac {A_{entra}}{A_{sai}}}\;-\;1\right)\;{\vec {u}}_{x}\;=\;\rho v_{entra}^{2}\;\pi \;{\frac {D_{1}^{2}}{4}}\left({\frac {D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}}}\;-\;1\right)\;{\vec {u}}_{x}}
F
→
=
F
→
H
+
F
→
p
⇒
F
→
p
=
F
→
−
F
→
H
{\displaystyle {\vec {F}}\;=\;{\vec {F}}_{H}\;+\;{\vec {F}}_{p}\Rightarrow \;\;\;{\vec {F}}_{p}\;=\;{\vec {F}}\;-\;{\vec {F}}_{H}}
H é considerar a situação da comporta fechada, calcular a força hidrostática exercida sobre a abertura e a força exercida na parede inteira, e fazer a subtração.
F
→
H
=
F
→
H
1
−
F
→
H
2
=
p
c
1
A
V
1
u
→
x
−
p
c
2
A
V
2
u
→
x
=
(
ρ
g
h
c
1
A
V
1
−
ρ
g
h
c
2
A
V
2
)
u
→
x
{\displaystyle {\vec {F}}_{H}\;=\;{\vec {F}}_{H1}\;-\;{\vec {F}}_{H2}\;=\;p_{c1}A_{V1}\;{\vec {u}}_{x}\;-\;p_{c2}A_{V2}\;{\vec {u}}_{x}\;=\;(\rho gh_{c1}A_{V1}\;-\;\rho gh_{c2}A_{V2})\;{\vec {u}}_{x}}
F
→
H
=
ρ
g
(
D
1
2
π
D
1
2
4
−
(
D
1
−
D
2
2
)
π
D
2
2
4
)
u
→
x
{\displaystyle {\vec {F}}_{H}\;=\;\rho g\left({\frac {D_{1}}{2}}\;\pi \;{\frac {D_{1}^{2}}{4}}\;-\;\left(D_{1}\;-\;{\frac {D_{2}}{2}}\right)\;\pi \;{\frac {D_{2}^{2}}{4}}\right)\;{\vec {u}}_{x}}
F
→
H
=
π
ρ
g
(
D
1
3
8
−
D
1
D
2
2
4
+
D
2
3
8
)
u
→
x
{\displaystyle {\vec {F}}_{H}\;=\;\pi \rho g\left({\frac {D_{1}^{3}}{8}}\;-\;{\frac {D_{1}D_{2}^{2}}{4}}\;+\;{\frac {D_{2}^{3}}{8}}\right)\;{\vec {u}}_{x}}
F
→
p
=
F
→
−
F
→
H
=
ρ
v
e
n
t
r
a
2
π
D
1
2
4
(
D
1
2
D
2
2
−
1
)
u
→
x
−
π
ρ
g
(
D
1
3
8
−
D
1
D
2
2
4
+
D
2
3
8
)
u
→
x
{\displaystyle {\vec {F}}_{p}\;=\;{\vec {F}}\;-\;{\vec {F}}_{H}\;=\;\rho v_{entra}^{2}\;\pi \;{\frac {D_{1}^{2}}{4}}\left({\frac {D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}}}\;-\;1\right)\;{\vec {u}}_{x}\;-\;\pi \rho g\left({\frac {D_{1}^{3}}{8}}\;-\;{\frac {D_{1}D_{2}^{2}}{4}}\;+\;{\frac {D_{2}^{3}}{8}}\right)\;{\vec {u}}_{x}}
F
→
p
=
ρ
π
[
v
e
n
t
r
a
2
D
1
2
4
(
D
1
2
D
2
2
−
1
)
−
g
(
D
1
3
8
−
D
1
D
2
2
4
+
D
2
3
8
)
]
u
→
x
{\displaystyle {\vec {F}}_{p}\;=\;\rho \pi \;\left[v_{entra}^{2}\;{\frac {D_{1}^{2}}{4}}\left({\frac {D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}}}\;-\;1\right)\;-\;g\;\left({\frac {D_{1}^{3}}{8}}\;-\;{\frac {D_{1}D_{2}^{2}}{4}}\;+\;{\frac {D_{2}^{3}}{8}}\right)\right]\;{\vec {u}}_{x}}
=
1000
k
g
/
m
3
⋅
3.1
⋅
[
(
0.5
m
/
s
)
2
⋅
(
3
m
)
2
4
(
(
3
m
)
2
(
0.4
m
)
2
−
1
)
−
{\displaystyle \;=\;1000\;kg/m^{3}\cdot 3.1\cdot \left[(0.5\;m/s)^{2}\cdot {\frac {(3\;m)^{2}}{4}}\;\left({\frac {(3\;m)^{2}}{(0.4\;m)^{2}}}\;-\;1\right)\;-\;\right.}
−
9.8
m
/
s
2
⋅
(
(
3
m
)
3
8
−
3
m
⋅
(
0.4
m
)
2
4
+
(
0.4
m
)
3
8
)
]
u
→
x
{\displaystyle \left.\;-\;9.8\;m/s^{2}\cdot \left({\frac {(3\;m)^{3}}{8}}\;-\;{\frac {3\;m\cdot (0.4\;m)^{2}}{4}}\;+\;{\frac {(0.4\;m)^{3}}{8}}\right)\right]\;{\vec {u}}_{x}}
=
−
2790
N
u
→
x
{\displaystyle \;=\;-\;2790\;N\;{\vec {u}}_{x}}
2790
N
u
→
x
{\displaystyle 2790\;N\;{\vec {u}}_{x}}
![{\displaystyle {\vec {F}}_{p}\;=\;\rho \pi \;\left[v_{entra}^{2}\;{\frac {D_{1}^{2}}{4}}\left({\frac {D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}}}\;-\;1\right)\;-\;g\;\left({\frac {D_{1}^{3}}{8}}\;-\;{\frac {D_{1}D_{2}^{2}}{4}}\;+\;{\frac {D_{2}^{3}}{8}}\right)\right]\;{\vec {u}}_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9208939e5402d4e75419e521975733488ab0ca)
![{\displaystyle \left.\;-\;9.8\;m/s^{2}\cdot \left({\frac {(3\;m)^{3}}{8}}\;-\;{\frac {3\;m\cdot (0.4\;m)^{2}}{4}}\;+\;{\frac {(0.4\;m)^{3}}{8}}\right)\right]\;{\vec {u}}_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b12489e691df7db9a8a3013a653e9378e570293)
