Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/D2

EnunciadoEditar

Um espaço amplo encontra-se cheio de líquido ideal. Repentinamente, estoura uma bolha esférica de raio a. Calcular o tempo para que o líquido preencha o buraco formado. Desprezar a ação da gravidade.

SoluçãoEditar

Devido à simetria do problema, uma vez que a gravidade será desprezada, podemos considerar que só existirá movimento na direção radial. Assim


 


A equação de Euler ficará então


 


 


Tanto p quanto vr são funções de r e t. Não podemos usar a equação de continuidade na forma canônica, pois o escoamento não está em regime permanente. Mas podemos afirmar que a conservação de massa exige que a vazão Φ de fluido fora do buraco seja independente de r, quer dizer, seja função apenas de t. Para integrar a equação de Euler e eliminar r, podemos escrever


 


 


Manipulando a equação de Euler:


 


Separando as variáveis e integrando sobre todo o espaço ocupado pelo fluido, temos


 


 


onde R é o raio do buraco, que também é uma função de t. Temos agora uma equação diferencial que só depende do tempo. Mas


 


Assim,


 


 


 


Para integrar novamente e eliminar t,


 


 


 


 


Assim


 


 


Introduzindo a variável u = v2(R,t) e integrando, temos


 


 


 


 


 


 


 


 


Podemos agora encontrar o tempo decorrido através de uma integração


 


onde o sinal negativo vem do fato de estarmos esperando que a velocidade do fluido esteja no sentido da diminuição do raio. Assim,


 


Manipulando a integral


 


 


 


 


Examinando a forma da função Beta de Binet

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Função Beta
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
John William Strutt


 


reconhecemos que as integrais coincidem, se fizermos α =   e β =  . Assim,


 


Neste site pode-se obter o valor de 2,24 para a função Beta com esses argumentos. Assim, pode-se escrever


 


Esse problema foi resolvido em 1917, por John William Strutt (Lord Rayleigh). Ele ilustra a complexidade dos problemas que envolvem fluxo em regime transitório.