Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E7

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Enunciado

Deduzir a fórmula para a tensão nas paredes de um tubo onde ocorre escoamento turbulento com Número de Reynolds até 100000.

Solução

Neste caso, precisamos de uma fórmula para o fator de atrito, não sendo possível usar o Diagrama de Moody. Como N_Re ≤ 100000, podemos usar a fórmula de Blasius:

$N_{f}^{\;}=\;0.316\;N_{Re}^{-0.25}$

Como

$\Delta H\;=\;{\frac {\Delta p}{\rho _{0}}}\;\;\;\Rightarrow \Delta p\;=\;\rho _{0}\;\Delta H\;=\;-\;\rho _{0}\;{\frac {1}{2}}\;N_{f}\;{\frac {L}{D}}\;{\bar {v}}^{2}$

$\Delta p\;=\;-\;\rho _{0}\;{\frac {1}{2}}\cdot 0.316\;N_{Re}^{-0.25}\cdot {\frac {L}{D}}\;{\bar {v}}^{2}\;=\;-0.158\rho _{0}\;{\frac {L}{D}}\;N_{Re}^{-0.25}\;{\bar {v}}^{2}$

Assim, podemos escrever

$p\;=\;p(0)\;+\;\Delta p(z)\;=\;p(0)\;-\;0.158\rho _{0}\;{\frac {z}{D}}\;N_{Re}^{-0.25}\;{\bar {v}}^{2}$

Mas a tensão na parede é dada por

$\tau _{w}\;=\;-\;\left.\tau _{rz}\right|_{r=R}$

o sinal negativo se justifica porque a tensão na parede tem a mesma intensidade e sentido contrário da tensão no fluido. Em um exercício resolvido, encontramos a fórmula para a tensão cisalhante em fluxo laminar

$\tau _{rz}\;=\;{\frac {r}{2}}\;{\frac {\partial p}{\partial z}}$

Assim,

$\tau _{w}\;=\;-\;{\frac {R}{2}}\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;=\;-\;{\frac {D}{4}}\;{\frac {\partial }{\partial z}}\left(p(0)\;-\;0.158\rho _{0}\;{\frac {z}{D}}\;N_{Re}^{-0.25}\;{\bar {v}}^{2}\right)$

$\tau _{w}\;=\;{\frac {D}{4}}\;\left(0.158\rho _{0}\;{\frac {1}{D}}\;N_{Re}^{-0.25}\;{\bar {v}}^{2}\right)\;=\;0.0395\rho _{0}\;N_{Re}^{-0.25}\;{\bar {v}}^{2}$

Como sabemos, a teoria e a evidência experimental apontam para um escoamento nas paredes muito próximo ao laminar. Assim, a fórmula acima valeria também para o caso de escoamento turbulento examinado. Na prática, a expressão que se usa é ligeiramente diferente

$\tau _{w}\;=\;0.0332\rho _{0}\;N_{Re}^{-0.25}\;{\bar {v}}^{2}$