Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E6

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Enunciado

Deduzir a fórmula para a tensão cisalhante τ_rz no escoamento laminar de um líquido Newtoniano em um tubo cilíndrico horizontal de diâmetro D.

Solução

Aqui, será preciso novamente empregar as equações em coordenadas cilíndricas. Do exercício anterior, sabemos que

${\frac {\mu _{0}}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;=\;{\frac {\partial p}{\partial z}}$

Mas

$\tau _{rz}\;=\;\mu _{0}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}$

Assim

${\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;\tau _{rz}\right)\;=\;r\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;\;\;\Rightarrow r\tau _{rz}\;=\;{\frac {r^{2}}{2}}\left({\frac {\partial p}{\partial z}}\right)\;+\;k_{1}$

$\tau _{rz}\;=\;{\frac {r}{2}}\left({\frac {\partial p}{\partial z}}\right)\;+\;{\frac {k_{1}}{r}}$

Como a tensão não pode ser infinita no centro do duto (r = 0), k₁ = 0. Assim,

$\tau _{rz}\;=\;{\frac {r}{2}}\left({\frac {\partial p}{\partial z}}\right)$