Mecânica dos fluidos/Cálculo da perda de carga em tubulações

As perdas em tubulações podem ser divididas em dois grupos: as perdas que ocorrem nos trechos lineares, ou perdas distribuídas, e as perdas localizadas em elementos individuais, também chamadas perdas singulares. As perdas do primeiro grupo constituem a maior parte do total, pois normalmente as tubulações de interesse possuem grande extensão, e por isso são também chamadas perdas principais (ing. major losses); as demais são, por sua vez, chamadas perdas secundárias (ing. minor losses).

Perdas nos trechos lineares

Em uma grande tubulação, a maior parte da perda de carga acontece nos longos trechos retos, horizontais e de diâmetro constante.

Nesses trechos, a seção do duto é constante. Se queremos saber a perda devido ao duto, é preciso desconsiderar o fator correspondente à mudança de altura. Assim, a perda deve ser calculada como

$\Delta H\;=\;{\frac {p_{2}\;-\;p_{1}}{\rho _{0}}}\;=\;{\frac {\Delta p}{\rho _{0}}}$

Perdas em fluxo laminar

No caso de fluxo laminar (ver exercício), temos

${\bar {v}}\;=\;-\;{\frac {R^{2}}{8\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\;=\;-\;{\frac {D^{2}}{32\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}$

Assim

$\Delta p\;=\;-\;{\frac {32\mu _{0}L{\bar {v}}}{D^{2}}}\;\;\;\Rightarrow \Delta H\;=\;-\;{\frac {32\mu _{0}L{\bar {v}}}{\rho _{0}D^{2}}}$

O valor negativo reflete que a energia total diminuiu (a pressão caiu). Como H é uma perda de carga, é comum desprezar-se o sinal e falar da ocorrência de uma perda de carga positiva nas tubulações. Agrupando termos,

$\Delta H\;=\;-\;{\frac {L{\bar {v}}^{2}}{2D}}\;{\frac {64\mu _{0}}{\rho _{0}{\bar {v}}D}}\;=\;-\;{\frac {1}{2}}\;{\frac {L}{D}}\;{\bar {v}}^{2}\;{\frac {64}{N_{Re}}}$

Perdas em fluxo turbulento

No caso de fluxo turbulento, não é possível determinar analiticamente a expressão para a variação de pressão; é preciso recorrer à experiência. Em um exercício, determinaram-se os grupos adimensionais relevantes nesse caso

$\pi _{1}\;=\;{\frac {\mu _{0}}{\rho _{0}vD}}\;=\;N_{Re}\qquad \pi _{2}\;=\;{\frac {\Delta p}{\rho _{0}v^{2}}}\qquad \pi _{3}\;=\;{\frac {D}{e}}\qquad \pi _{4}\;=\;{\frac {D}{L}}$

Podemos, então, escrever

${\frac {\Delta p}{\rho _{0}{\bar {v}}^{2}}}\;=\;f\left(N_{Re},{\frac {D}{e}},{\frac {D}{L}}\right)$

Mas

$\Delta H\;=\;{\frac {\Delta p}{\rho _{0}}}\;\;\;\Rightarrow {\frac {\Delta p}{\rho _{0}{\bar {v}}^{2}}}\;=\;{\frac {H}{{\bar {v}}^{2}}}$

Além disso, experimentalmente se verifica que a perda de carga ΔH é proporcional ao comprimento do tubo, se D for mantido constante. Assim, podemos escrever

$\Delta H\;=\;{\frac {L{\bar {v}}^{2}}{D}}\cdot f\left(N_{Re},{\frac {D}{e}}\right)\;=\;-\;{\frac {1}{2}}\;N_{f}\;{\frac {L}{D}}\;{\bar {v}}^{2}$

Essa equação é conhecida como equação de Darcy-Weisbach. N_f é chamado fator de atrito (neste caso, fator de atrito de Darcy); em geral, ele é uma função do diâmetro, da rugosidade e do Número de Reynolds do escoamento:

$N_{f}\;=\;f\left(N_{Re},{\frac {D}{e}}\right)$

As fórmulas para escoamento laminar e turbulento, escritas na forma indicada, permitem dizer que o fator de atrito para escoamento laminar é igual a

$N_{f}\;=\;{\frac {64}{N_{Re}}}$

O valor do fator de atrito para escoamento turbulento foram levantados por Lewis Ferry Moody e tabulados no que se chama Diagrama de Moody.

Diagrama de Moody, mostrando o fator de atrito em função do Número de Reynolds para vários valores de rugosidade. No canto inferior esquerdo, uma tabela com a rugosidade absoluta de diversos materiais.

O Diagrama de Moody mostra que o fator de atrito diminui com o Número de Reynolds. Em uma tubulação horizontal de diâmetro constante, isso significa que o fator de atrito diminui com o aumento da velocidade, tanto para escoamento laminar quanto para escoamento turbulento. No primeiro caso, entretanto, o fator de atrito independe da rugosidade do material; no segundo caso, o fator de atrito depende tanto da rugosidade quanto do Número de Reynolds. Para valores muito grandes da velocidade, a tendência é que o fator de atrito dependa quase que apenas da rugosidade.

O Diagrama de Moody também mostra que, na transição do escoamento laminar para o turbulento, o fator de atrito, que vinha diminuindo com a velocidade, aumenta bruscamente, voltando a diminuir com o aumento da velocidade a partir daí.

Como a perda de carga é proporcional também ao quadrado da velocidade média, o resultado é que ela aumenta monotonamente com o aumento da velocidade. Podemos escrever que $\Delta H\propto {\bar {v}}^{\alpha }$; quando o fluxo é laminar, α = 1; quando é turbulento, 1 ≤ α ≤ 2, sendo que, para valores muito altos de v, podemos considerar α = 2.

Equações para o fator de atrito

Algumas fórmulas foram desenvolvidas com o objetivo de evitar a necessidade de consulta ao Diagrama de Moody. A mais usada é a equação de Colebrook (ou equação de Colebrook-White):

$N_{f}^{-{\frac {1}{2}}}\;=\;-2.0\;log\left({\frac {1}{3.7}}{\frac {e}{D}}\;+\;{\frac {2.51\;N_{f}^{-{\frac {1}{2}}}}{N_{Re}}}\right)$

Miller sugere a seguinte aproximação para a equação de Colebrook, que evita as dificuldades decorrentes do fator de atrito estar implícito na fórmula original:

$N_{f}^{\;}=\;0.25\;\left[log\left({\frac {1}{3.7}}{\frac {e}{D}}\;+\;5.74\;N_{Re}^{-0.9}\right)\right]^{-2}$

Para escoamento turbulento em tubos lisos e 3000 ≤ N_Re ≤ 100000, Blasius propôs a fórmula

$N_{f}^{\;}=\;0.316\;N_{Re}^{-0.25}$

Outra aproximação é a de von Karman e Prandtl, válida para tubos lisos e N_Re até 3000000):

$N_{f}^{-\;{\frac {1}{2}}}\;=\;2.0\;log(N_{Re}\cdot N_{f}^{-\;{\frac {1}{2}}})\;-\;0.8$

Existe também uma fórmula para uso com tubos rugosos

$N_{f}^{-\;{\frac {1}{2}}}\;=\;2.0\;log\left({\frac {D}{e}}\right)\;+\;1.74$

Enfoques alternativos

A fórmula de Hazen-Williams

${\bar {v}}\;=\;0.8594\cdot N_{H}\cdot R_{h}^{0.63}\cdot \left({\frac {\Delta h}{L}}\right)^{0.54}$

é uma relação obtida empiricamente entre a velocidade do escoamento e a perda de carga, que apresenta boa precisão na maioria dos casos de interesse. Muitas vezes é mais fácil empregá-la nos cálculos do que a fórmula de Darcy-Weisbach. N_H é o coeficiente de atrito de Hazen-Williams, e depende apenas da rugosidade da tubulação; R_h é o raio hidráulico da tubulação.

Perdas menores

Em uma grande tubulação, a menor parte da perda de carga acontece nas curvas e conexões.

Existem duas maneiras tradicionais de se computar as perdas em curvas e conexões. A primeira é através da fórmula

$\Delta H\;=\;-\;N_{l}\;{\frac {{\bar {v}}^{2}}{2}}$

onde N_l é chamado coeficiente de perda, e deve ser estimado experimentalmente para cada situação. A segunda é através da fórmula

$\Delta H\;=\;-\;N_{f}\;{\frac {L_{e}}{D}}\;{\frac {{\bar {v}}^{2}}{2}}$

onde N_f é o fator de atrito e L_e é chamado comprimento equivalente do elemento. Tabelas de N_l e L_e estão disponíveis para os tipos mais comuns de curvas e conexões, mas os valores indicados podem variar de uma fonte para a outra. Sabe-se que N_l costuma variar em função do diâmetro D de uma forma muito similar à de N_f.

Perdas em mudanças de seção

Mudanças bruscas de seção provocam grandes perdas, devido ao fenômeno de formação da veia contraída, explicado acima. As tabelas indicam valores do coeficiente de perda em função da razão entre as seções, e considerando a velocidade mais alta, ou seja, a velocidade no trecho mais estreito.

Mudanças graduais de seção provocam menores perdas. Quando se trata de um estreitamento gradual, em geral não há formação de veia contraída. Nos alargamentos, entretanto, sempre ocorre separação de fluido, mesmo quando a mudança de área da seção é gradual.

Neste último caso, muitas vezes se emprega uma fórmula alternativa para a perda, introduzindo-se o coeficiente de recuperação de pressão

$N_{c}\;=\;{\frac {\Delta p}{\rho _{0}\;{\frac {{\bar {v}}^{2}}{2}}}}$

que indica que fração da energia cinética total aparece como um aumento da pressão após a mudança de área da seção do duto; a velocidade v aqui é, novamente, aquela da seção mais estreita, ou seja, a velocidade do fluido na entrada do difusor. Se o alargamento não apresentasse perdas, N_c seria igual a

$N_{c}\;=\;1\;-\;\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}$

onde A₁ é a seção transversal na entrada do duto, e A₂, a seção na saída. Quanto mais longo o difusor, e menor o seu ângulo de abertura, mais o valor de N_c será próximo do ideal. A perda é dada por

$\Delta H\;=\;\left(N_{c}\;+\;{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\;-\;1\right){\frac {{\bar {v}}^{2}}{2}}$

A vantagem de usar o conceito de coeficiente de recuperação de pressão é que ele é relativamente independente do Número de Reynolds para N_Re ≥ 75000.

Perdas em entradas

Se uma entrada de fluido possui bordas aparentes, forma-se uma veia contraída, que obriga o fluxo a acelerar subitamente; quando ele volta a se expandir e ocupa toda a largura do tubo, ocorre uma desaceleração brusca, com separação de fluido e consequente perda de carga. A perda em uma entrada, portanto, é menor se as bordas são menos pronunciadas. Um valor típico de 0.5 é encontra para o N_l em uma entrada em ângulo reto perfeito; o valor pode chegar a 0.78 se as bordas avançarem muito para fora da entrada, e diminuir para até 0.04 se as bordas forem suficientemente arredondadas.

Perdas em saídas

Em uma saída de fluido (por exemplo, para um tanque), a energia cinética é totalmente dissipada. Assim, não tem sentido falar de um coeficiente de perda; a perda é igual à energia cinética do fluido, que foi calculada anteriormente como $\left(-\;{\frac {1}{2g}}\;\alpha {\bar {v}}^{2}\right)$

A colocação de um difusor na saída não altera a perda de carga, mas em geral aumenta a vazão do fluido ao sair para o ambiente. Com o difusor, a perda de carga será dada por

$\Delta h\;=\;\Delta h_{1}\;+\;\Delta h_{12}\;+\;\Delta h_{2}\;=\;-\;{\frac {1}{2g}}\;(N_{l1}{\bar {v}}_{1}^{2}\;+\;N_{l2}{\bar {v}}_{1}^{2}\;+\;\alpha _{2}{\bar {v}}_{2}^{2})\;=\;-\;{\frac {1}{2g}}\;\left(N_{l1}{\bar {v}}_{1}^{2}\;+\;\left(1\;-\;{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\;-\;N_{c}\right)\alpha _{1}{\bar {v}}_{1}^{2}\;+\;\alpha _{2}{\bar {v}}_{2}^{2}\right)$

onde ${\bar {v}}_{1}$ é a velocidade na entrada do difusor, ${\bar {v}}_{2}$ é a velocidade na saída, Δh₁ é a perda na entrada do difusor, Δh₁₂ é a perda ao longo do difusor, Δh₂ é a perda na saída do difusor, N_l1 é o coeficiente de perda na entrada e N_l2 é o coeficiente de perda ao longo do difusor. Assim

${\frac {1}{2g}}\;(\alpha {\bar {v}}^{2})\;=\;{\frac {1}{2g}}\;\left(N_{l1}{\bar {v}}_{1}^{2}\;+\;\left(1\;-\;{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\;-\;N_{c}\right)\alpha _{1}{\bar {v}}_{1}^{2}\;+\;\alpha _{2}{\bar {v}}_{2}^{2}\right)$

Mas

${\bar {v}}_{2}\;=\;{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\;{\bar {v}}_{1}\;\;\;\Rightarrow \alpha {\bar {v}}^{2}\;=\;N_{l1}{\bar {v}}_{1}^{2}\;+\;\left(1\;-\;{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\;-\;N_{c}\right)\alpha _{1}{\bar {v}}_{1}^{2}\;+\;\alpha _{2}\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\;{\bar {v}}_{1}\right)^{2}$

$\alpha {\bar {v}}^{2}\;=\;\left(N_{l1}\;+\;\left(1\;-\;{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\;-\;N_{c}\right)\alpha _{1}\;+\;\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}\alpha _{2}\right){\bar {v}}_{1}^{2}$

${\bar {v}}_{1}\;=\;{\sqrt {\frac {\alpha }{N_{l1}\;+\;\left(1\;-\;{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\;-\;N_{c}\right)\alpha _{1}\;+\;\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}\alpha _{2}}}}\cdot {\bar {v}}$

Em geral, ${\bar {v}}_{1}\;>\;{\bar {v}}\;>\;{\bar {v}}_{2}$. Como a área da seção de entrada não mudou, se a velocidade aumentar, a vazão também aumentará.

A perda de carga na saída do difusor é pequena, em função do grande diâmetro desta e, por conseguinte, da baixa velocidade de saída. Para que a perda de carga total seja constante, é preciso que a perda na abertura e no difusor sejam elevadas, e isso obriga a que a velocidade do fluido na abertura seja elevada. O aumento da velocidade faz com que a pressão na abertura caia; o difusor funciona como se fosse um dispositivo de sucção colocado na abertura.

Perdas em curvas

Nos trechos curvos, a perda de carga é maior que em um duto reto de seção e comprimento equivalentes, devido principalmente à presença de fluxo secundário. As tabelas apresentam as perdas usando o conceito do comprimento equivalente de tubo, em função do raio de curvatura, no caso de uma curva contínua, e do ângulo de deflexão, no caso de uma curva composta por dois segmentos retos em ângulo; ambos os tipos de curva são muito comuns em grandes tubulações.

Perdas em válvulas

Válvula de comporta para tubulação de água quente doméstica.

As perdas nas válvulas inseridas na tubulação também são expressas usualmente como um comprimento equivalente de duto. No caso desses elementos, no entanto, existe uma dificuldade adicional: as válvulas podem variar sua abertura continuamente. As tabelas registram valores de perdas para a situação em que a válvula está totalmente aberta; numa válvula parcialmente fechada as perdas seriam maiores. Isso é razoável no caso de válvulas fixas, mas não no caso de válvulas de controle, que tipicamente têm sua abertura variando continuamente no tempo, de forma a controlar o fluxo. Além disso, existem vários tipos de válvulas, e o formato exato de cada uma varia também com o fabricante. Por isso, normalmente, devem-se usar tabelas fornecidas pelo próprio fabricante ou realizar ensaios experimentais específicos.

Perdas em conexões

As perdas nas conexões presentes na tubulação também são expressas usualmente como um comprimento equivalente de duto. Os componentes variam bastante em tipo e configuração. O tipo mais comum de conexão é o derivador em T; para esse componente, caracteriza-se uma perda referente ao fluxo derivado e outra referente ao fluxo direto; os dutos derivado e direto podem ainda ter seções transversais de tamanhos diferentes.

Outras perdas

Perdas adicionais devem-se à maneira como os diversos elementos são unidos de maneira a formar a tubulação: uma conexão pode ser soldada, rosqueada ou flangeada. Além disso, descuido durante a montagem pode aumentar a perda de carga; por exemplo, rebarbas deixadas por um corte mal feito são responsáveis por perdas elevadas.

Correção para tubulações de seção retangular

Em tubulações de ar condicionado, aquecimento e ventilação (ing. HVAC), são comuns os tubos de seção retangular, devido à facilidade de fabricação e montagem. Para esse tipo de duto, define-se o diâmetro hidráulico, que deve ser o empregado nas fórmulas e na consulta às tabelas disponíveis para tubos de seção circular,

$D_{h}\;=\;{\frac {4A}{P}}$

onde A é a área da seção transversal, e P, o seu perímetro. Por exemplo, no caso de um duto retangular de lados de medida 5a e 6a,

$D_{h}\;=\;{\frac {4A}{P}}\;=\;{\frac {4\cdot 5a\cdot 6a}{2\cdot (5a\;+\;6a)}}\;=\;{\frac {120a^{2}}{22a}}\;=\;5.45a$

Essa aproximação é válida para tubos em que a relação de comprimento entre os lados não seja exagerada (até 4 vezes, no máximo). No caso de um tubo de seção circular, D_h = D.

Exercícios resolvidos

• E7
• E8
• E9
• E10
• E11
• E12
• E13
• E14
• E17
• E18
• E19

Ligações externas

• Calculador on-line com a equação de Colebrook