Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F3

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Enunciado

Repetir o problema anterior, desta vez para obter a queda de pressão Δp, em lugar da perda de carga h.

Dados do problema

As variáveis originais serão:

1. o diâmetro do tubo (D) - dimensão [L];
2. o comprimento do tubo (L) - dimensão [L];
3. a velocidade do fluxo (v) - dimensão [Lt^-1];
4. a viscosidade do fluido (μ) - dimensão [ML^-1t^-1];
5. a densidade do fluido (ρ) - dimensão [ML^-3];
6. a rugosidade (e) - dimensão [L];
7. a queda de pressão (Δp) - dimensão [ML^-1t^-2];

Solução

A escolha da queda de pressão, em lugar da perda de carga, faz sentido, pois ela pode ser diretamente medida, com um instrumento simples, como um manômetro diferencial.

As k = 3 dimensões envolvidas, como se vê, são novamente [M], [L] e [t].

Selecionemos novamente os 3 parâmetros ρ, v e D; de acordo com o teorema de Buckingham, Δp não deve ser utilizado. Além disso, também de acordo com o teorema, dois dos grupos adimensionais serão: a razão entre D e e e a razão entre D e L. Faltam, portanto, dois, e as equações dimensionais serão:

$\pi _{1}\;=\;\rho ^{a}v^{b}D^{c}\mu \qquad \pi _{2}\;=\;\rho ^{d}v^{e}D^{f}\Delta p$

Usando novamente o resultado obtido no exemplo já estudado anteriormente, podemos escrever

$\pi _{1}\;=\;{\frac {\mu }{\rho vD}}$

bastando resolver a nova equação

$[M]^{0}[L]^{0}[t]^{0}\;=\;[ML^{-3}]^{a}[Lt^{-1}]^{b}[L]^{c}[ML^{-1}t^{-2}]$

$(M)\;\;\;0\;=\;a\;+\;1\;\;\;\Rightarrow a\;=\;-1$

$(t)\;\;\;0\;=\;-\;b\;-\;2\;\;\;\Rightarrow b\;=\;-2$

$(L)\;\;\;0\;=\;-\;3a\;+\;b\;+\;c\;-\;1\;\;\;\Rightarrow c\;=\;0$

Assim

$\pi _{1}\;=\;{\frac {\mu }{\rho vD}}\qquad \pi _{2}\;=\;{\frac {\Delta p}{\rho v^{2}}}\qquad \pi _{3}\;=\;{\frac {D}{e}}\qquad \pi _{4}\;=\;{\frac {D}{L}}$