Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F4

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Enunciado

Obter grupos adimensionais Π necessários para a determinação experimental da ascensão capilar h que ocorre quando um tubo de diâmetro D é inserido em um líquido de densidade ρ e tensão superficial γ.

Dados do problema

As variáveis originais serão:

1. o diâmetro do tubo (D) - dimensão [L];
2. a densidade do fluido (ρ) - dimensão [ML^-3];
3. a tensão superficial (γ) - dimensão [Mt^-2];
4. a ascensão capilar (h) - dimensão [L];

Solução

As k = 3 dimensões envolvidas, como se vê, são [M], [L] e [t].

Como são 4 as variáveis originais, apenas um grupo adimensional será necessário. A equação dimensional será:

$\pi _{1}\;=\;\rho ^{a}D^{b}\gamma ^{c}h$

$[M]^{0}[L]^{0}[t]^{0}\;=\;[ML^{-3}]^{a}[L]^{b}[Mt^{-2}]^{c}[L]$

$(t)\;\;\;0\;=\;-\;2c\;\;\;\Rightarrow c\;=\;0$

$(M)\;\;\;0\;=\;a\;+\;c\;\;\;\Rightarrow a\;=\;0$

$(L)\;\;\;0\;=\;-\;3a\;+\;b\;+\;1\;\;\;\Rightarrow b\;=\;-1$

O que leva a

$\pi _{1}\;=\;{\frac {h}{D}}$

que claramente não atende às necessidades do problema. Isso podia ser verificado logo de início, porque o teorema de Buckingham indica que h e D, possuindo a mesma dimensão, precisam formar um grupo Π; como são apenas 4 variáveis, esse grupo é o único. Ora, isso impede que as demais dimensões básicas, M e t, sejam adequadamente tratadas.

O que aconteceu, neste caso, é que faltaram uma ou mais variáveis na lista. Vamos tentar novamente, acrescentando a aceleração da gravidade, g (dimensão [Lt^-2]. Escolhendo ρ, D e g como variáveis repetidas, teremos

$\pi _{1}\;=\;\rho ^{a}D^{b}g^{c}h\qquad \pi _{2}\;=\;\rho ^{d}D^{e}g^{f}\gamma$

$[M]^{0}[L]^{0}[t]^{0}\;=\;[ML^{-3}]^{a}[L]^{b}[Lt^{-2}]^{c}[L]\qquad [M]^{0}[L]^{0}[t]^{0}\;=\;[ML^{-3}]^{d}[L]^{e}[Lt^{-2}]^{f}[Mt^{-2}]$

$(t)\;\;\;0\;=\;-\;2c\;\;\;\Rightarrow c\;=\;0$

$(M)\;\;\;0\;=\;a$

$(L)\;\;\;0\;=\;-\;3a\;+\;b\;+\;c\;+\;1\;\;\;\Rightarrow b\;=\;-1$

$(t)\;\;\;0\;=\;-\;2f\;-\;2\;\;\;\Rightarrow f\;=\;-1$

$(M)\;\;\;0\;=\;d\;+\;1\;\;\;\Rightarrow d\;=\;-1$

$(L)\;\;\;0\;=\;-\;3d\;+\;e\;+\;f\;\;\;\Rightarrow e\;=\;-2$

O que resulta em

$\pi _{1}\;=\;{\frac {h}{D}}\qquad \pi _{2}\;=\;{\frac {\gamma }{\rho gD^{2}}}$

Esse problema mostra que a aceleração da gravidade, g, mesmo sendo uma constante, precisa ser levada em conta, para garantir a homogeneidade dimensional da solução.