Mecânica dos fluidos/Grupos adimensionais

Grupos adimensionais e modelos

Ao escrever as equações descritivas dos fenômenos em forma adimensional, aparecem coeficientes em alguns termos, coeficientes esses que são sempre adimensionais. Por exemplo, na equação de Navier-Stokes para um líquido Newtoniano:

$v_{x}^{*}{\frac {\partial v_{z}*}{\partial x^{*}}}\;+\;v_{z}^{*}{\frac {\partial v_{z}^{*}}{\partial z^{*}}}\;=\;-\;{\frac {gL_{r}}{v_{\infty }^{2}}}\;-\;{\frac {\partial p^{*}}{\partial z^{*}}}\;+\;{\frac {\mu ^{*}}{\rho ^{*}}}\left({\frac {\partial ^{2}v_{z}^{*}}{\partial (x^{*})^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}^{*}}{\partial (z^{*})^{2}}}\right)$

aparece o coeficiente ${\frac {gL_{r}}{v_{\infty }^{2}}}$. A teoria matemática das equações diferenciais mostra que a solução de uma equação depende fortemente do valor relativo dos diversos coeficientes; uma pequena mudança no valor de um coeficiente pode fazer com que a forma da solução mude radicalmente. Como muitas vezes é preciso buscar uma solução aproximada, a análise dos coeficientes é importante porque permite saber se um termo pode ou não ser desprezado numa determinada situação. No exemplo mencionado, o coeficiente ${\frac {gL_{r}}{v_{\infty }^{2}}}$ mostrará em que condição os efeitos gravitacionais precisam ser levados em conta.

Se estivermos usando um protótipo, a similitude será obtida quando os coeficientes tiverem os mesmos valores do caso original. Assim, uma equação rigorosamente idêntica governa ambos os casos, e o protótipo pode ser considerado um modelo fiel do original.

O coeficiente ${\frac {gL_{r}}{v_{\infty }^{2}}}$ aparece também em outras equações importantes. Isso acontece com diversos outros coeficientes. Em vista disso, os mais comuns receberam nomes especiais.

Número de Froude

Em particular, o coeficiente ${\frac {gL_{r}}{v_{\infty }^{2}}}$, citado acima, está relacionado ao número de Froude:

$N_{Fr}\;=\;{\frac {v_{r}}{\sqrt {gL_{r}}}}$

Ressalto hidráulico no rio Naramatagawa (Japão), fenômeno a que está associado o número de Froude.

Esse grupo adimensional aparece em equações que descrevem fluxos em que efeitos de superfícies livres são relevantes; por exemplo, ao estudar-se a formação de ondas na superfície de um fluxo. Neste caso, o comprimento de referência L_r é a profundidade do fluido no canal. Estudos de resistência hidrodinâmica de barcos também utilizam o número de Froude; nestes casos, o comprimento de referência é o comprimento do barco na linha d'água.

É fácil ver que o número de Froude é a razão entre as forças de inércia e as forças gravitacionais

$N_{Fr}^{2}\;=\;{\frac {v_{r}^{2}}{gL_{r}}}\;=\;{\frac {\rho L_{r}^{2}v_{r}^{2}}{\rho L_{r}^{2}gL_{r}}}\;=\;{\frac {\rho L_{r}^{4}\left({\frac {v_{r}}{L_{r}}}\right)^{2}}{\rho gL_{r}^{3}}}\;=\;{\frac {\rho L_{r}^{3}L_{r}\omega _{r}^{2}}{\rho gV_{r}}}\;=\;{\frac {m\omega _{r}^{2}L_{r}}{mg}}$

Pode-se também pensá-lo como a razão entre a velocidade do fluxo e a velocidade de propagação de uma onda no fluido. Nesse caso, o número de Froude aparece como análogo ao número de Mach. Um valor de N_Fr inferior à unidade indica fluxo subcrítico; um valor de N_Fr superior à unidade indica fluxo supercrítico. Fluxos supercríticos apresentam fenômenos únicos, como os ressaltos hidráulicos, por exemplo.

Número de Reynolds

O coeficiente ${\frac {\mu ^{*}}{\rho ^{*}}}$, que aparece na equação acima, pode ser desenvolvido

${\frac {\mu ^{*}}{\rho ^{*}}}\;=\;{\frac {\mu \rho _{r}}{\mu _{r}rho}}\;=\;{\frac {\mu }{\rho v_{r}L_{r}}}$

e é o inverso do número de Reynolds:

$N_{Re}\;=\;{\frac {\rho v_{r}L_{r}}{\mu }}$

Esse grupo adimensional pode ser entendido como a razão entre as forças devidas à inércia e as devidas à viscosidade. Fluxos com um número de Reynols alto, ou seja, fluxos onde a viscosidade exerce um efeito apreciável, são geralmente turbilhonários, não laminares.

Número de Euler

O grupo adimensional

$N_{Eu}\;=\;{\frac {2\;\Delta p}{\rho v_{r}^{2}}}$

é chamado de número de Euler. Δp é, em geral, a diferença entre a pressão e a pressão na superfície do fluido. O número de Euler aparece em problemas de aerodinâmica envolvendo líquidos ideais (ou seja, fluidos incompressíveis e não viscosos), e pode ser entendido como a razão entre as forças devidas à pressão e àquelas devidas à inércia do fluido. Esse adimensional também é conhecido como coeficiente de pressão.

Número de Weber

Ondas capilares aparecem na superfície de um líquido quando ela sofre uma perturbação (devida ao vento, por exemplo).

O grupo adimensional

$N_{We}\;=\;{\frac {\rho v_{r}^{2}L_{r}}{\gamma }}$

é conhecido como o número de Weber. Ele pode ser entendido como a razão entre as forças devidas à inércia e aquelas devidas à tensão superficial. O valor desse grupo adimensional indica a presença e a frequência das ondas capilares na superfície de um fluido.

Número de Mach

O grupo adimensional

$N_{Ma}\;=\;{\frac {v}{v_{r}}}$

é conhecido como o número de Mach. Ele é a razão entre a velocidade do fluxo e a velocidade do som no fluido. O valor desse grupo adimensional indica se o escoamento se processa a velocidades tão elevadas que os efeitos da compressibilidade do fluido devem ser levados em conta. O número de Mach também pode ser escrito nas formas seguintes

$N_{Ma}\;=\;{\frac {v}{\sqrt {\frac {\epsilon }{\rho }}}}$

$N_{Ma}\;=\;{\frac {v}{\sqrt {\frac {dp}{d\rho }}}}$

onde ε é o módulo de elasticidade volumétrica do fluido. Um fluido incompressível teria N_Ma = 0, e a velocidade de propagação do som nele seria infinita.

Número de cavitação

O grupo adimensional

$N_{Ca}\;=\;{\frac {2\;\Delta p}{\rho v_{r}^{2}}}\;=\;{\frac {2\;(p\;-\;p_{v})}{\rho v_{r}^{2}}}$

idêntico em forma ao número de Euler, é chamado de número de cavitação quando Δp é a diferença entre a pressão e a pressão de vapor do fluido à temperatura do problema. Esse número é usado na análise da probabilidade de ocorrência de cavitação em uma determinada situação. Quanto menor o número de cavitação, maior essa probabilidade.