Medida e integração/A reta real estendida


No estudo da teoria da medida, é comum lidar com sequências e séries de funções. Como se sabe da análise real, algumas vezes os termos de uma sequência assumem valores arbitrariamente grandes e este é um dos casos em que se diz que a sequência não converge. Entretanto, em certos contextos é extremamente útil considerar este tipo de sequência como sendo convergente, pois os seus termos "tendem a infinito" ou se "aproximam do infinito". O problema é que o "infinito" não faz parte do conjunto dos números reais, então para que esta noção possa ter um sentido mais preciso, costuma-se definir um novo conjunto a partir dos números reais e dos elementos e de modo que este seja uma extensão da reta real:

Definição 2.23

A reta real estendida é o conjunto

  • Obs. 2.24: Por simplicidade, também poderá ser usada a notação para o elemento de A reta real estendida também costuma ser denotada por

Em capítulos posteriores será considerado frequentemente o subconjunto da reta real estendida definido por

.

Há outros motivos importantes para se considerar o ao longo da teoria da medida, por exemplo:

  • É de interesse poder integrar funções sobre conjuntos que tenham "medida infinita": perceba que tem, intuitivamente, comprimento infinito;
  • Mesmo quando se pretende fazer a integração de funções que tomam valores reais, pode ocorrer que ao considerar uma sequência de funções o valor de ou de seja infinito em alguns pontos Em tais situações, caso não se trabalhe com o , se perde uma parte da elegância e simplicidade dos principais resultados sobre convergência (por exemplo, o teorema da convergência monótona e a "integração termo a termo" de séries de funções). Torna-se então mais conveniente a introdução do símbolo e de algumas convenções para se fazer cálculos envolvendo este símbolo.

Na próxima seção serão definidas algumas estruturas que facilitam o uso de uma relação de ordem, uma topologia e também uma aritmética.

Ordem, topologia e aritmética na reta real estendidaEditar

A retal real estendida se torna um conjunto totalmente ordenado definindo   para todo número real  . Analogamente, a ordem sobre   é induzida ordem de   ou seja, para cada   se tem  

Com esta ordem, se   e   não é limitado superiormente, isto é, se para todo   existe algum   tal que   então   Analogamente, se   não é limitado inferiormente, então   Deste modo, todo subconjunto não vazio de   (e, em particular, de  ) tem supremo e ínfimo[ver nota 1] em   o que faz da reta real estendida um reticulado completo. Este é um dos principais motivos para a introdução dos símbolos   e  

A partir desta relação de ordem, defini-se a topologia da ordem sobre   Os intervalos abertos são os subconjuntos de   que podem ser escritos em uma das seguintes formas:

  •  
  •  
  •  

Deste modo, um conjunto   é aberto se for uma reunião de intervalos dos tipos acima (pois eles formam uma base de abertos para  ).

Com esta topologia, as noções de limite envolvendo o infinito podem ser definidas de forma unificada a partir da definição topológica de limite.

Observe que ao fazer a interseção de   com intervalos abertos de   se obtém um intervalo aberto de   ou seja, um conjunto da forma     ou   Levando em conta que estes intervalos formam uma base de abertos para a topologia usual de   segue que tal topologia é induzida pela que se definiu sobre   anteriormente e que a inclusão   é contínua. Do mesmo modo, a topologia usual sobre   é a induzida pela topologia usual de  

As operações aritméticas de   podem ser parcialmente estendidas para   da seguinte maneira[1]:

 

Aqui,   significa tanto   quanto   e   significa tanto   quanto  

Também será convencionado que  [2]

Quando se restringe as operações apenas ao conjunto   vale:

 
 

Por mais estranho que possa parecer a definição de   (ou  ) como sendo   verifica-se facilmente que, com esta escolha, em   continuam valendo as propriedades comutativa, associativa e distributiva, sem qualquer restrição. Vale ressaltar, no entanto, que as "leis de cancelamento" devem ser usadas com cuidado, pois:

  •   apenas no caso em que  
  •   somente quando se tem  

As expressões     e   (chamadas de "formas indeterminadas") serão deixadas indefinidas, como é de costume em outros textos da área. As regras acima podem ser intuídas a partir das propriedades usuais de limites que tomam valores infinitos, presentes nos textos de cálculo.

Com as definições dadas,   não é um corpo nem mesmo um anel. Apesar disto, ele ainda possui diversas propriedades bastante convenientes:

  •   e   ou são iguais ou são ambos indefinidos.
  •   e   ou são iguais ou são ambos indefinidos.
  •   e   ou são iguais ou são ambos indefinidos.
  •   e   ou são iguais ou são ambos indefinidos
  •   e   são iguais se ambos estiverem definidos.
  • Se   e se tanto   quanto   estiverem definidos, então  .
  • Se   e   e tanto   quanto   estiverem definidos, então  .

Em geral, todas as regras usuais de aritmética continuam válidas em   desde que todas as expressões envolvidas estejam definidas.

Na próxima seção será considerado uma  -álgebra que pode ser definida de modo muito natural a partir da topologia de um conjunto: Se   é um espaço topológico, tem-se em particular que   Neste caso, conforme se demonstrou na Proposição 1.21 existe a menor  -álgebra sobre   que contém   que é   Isto motiva a próxima definição.

Conjuntos de BorelEditar

Definição 2.25

Seja   um espaço topológico. A  -álgebra   gerada pela topologia   é denominada  -álgebra de Borel. Qualquer elemento desta  -álgebra é chamado de conjunto de Borel de   ou boreliano de  [3]

  • Obs. 2.26: Quando a topologia estiver subentendida, será dito simplesmente "conjunto de Borel de  " ou "boreliano de  ". Se não houver risco de confusão, pode-se denotar a  -álgebra   simplesmente por  
  • Obs. 2.27: Considerando que os abertos da topologia são mensuráveis, os seus complementares são também mensuráveis pela propriedade 2 da definição de  -álgebra. Consequentemente, as reuniões eumeráveis de conjuntos fechados também são mensuráveis, conforme a propriedade 3 da mesma definição. Além disso, da observação 1.4 segue que as interseções enumeraveis de abertos também são elementos da  -álgebra de Borel.

Conforme se aprende em topologia, se   e   são espaços topológicos, e   é uma função contínua, então a pré-imagem   de qualquer aberto   é um aberto da topologia   Neste caso, levando em conta que   se conclui que   para qualquer   Isto significa que   é mensurável em relação a   e   Estas funções mensuráveis recebem os nomes específicos, conforme a próxima definição.

Definição 2.28

Sejam   e   espaços topológicos. Uma função Borel mensurável é qualquer função contínua   Se   tais funções são denominadas funções de Borel ou ainda aplicações de Borel.

Proposição 2.29

Seja   um espaço mensurável. Se   é um espaço topológico e   é uma função entre estes espaços, então:

  1.   é uma  -álgebra sobre  
  2. Se   é mensurável (em relação a   e  ) então   e   para qualquer que seja  
  3. Se   e   para todo   então   é mensurável.

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

A última propriedade da proposição anterior costuma ser usada para verificar se determinada função que toma valores reais é ou não mensurável[4].

A próxima definição apresenta alguns conceitos relacionados a ideia de limite: os limites de oscilação. Sua importância será notada no decorrer do estudo de sequências, tanto numéricas quanto de funções.

Definição 2.30

Seja   uma sequência em   o limite inferior de   é o elemento de   dado por

 
Analogamente, o limite superior de   é o elemento de   dado por
 

Proposição 2.31

Uma sequência   de   é convergente se, e somente se,

 

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

A seguir serão definidas algumas operações que se costuma fazer com funções com imagem na reta real estendida. A essência de tais operações é "tomar um limite em cada ponto do domínio da função". A definição 2.31 formaliza esta ideia:

Definição 2.33

Seja   uma sequência de funções definidas em um subconjunto   de   Definem-se as funções       e   de   em   através das fórmulas:

 

 

 

 

Além disso, se em cada   existe   define-se   o limite pontual da sequência   no ponto   como sendo:

 

Proposição 2.39

Seja   um espaço mensurável e considere para cada   uma função   Se   é mensurável, para todo   então as funções       e   são mensuráveis.[5]

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.
Corolário 2.40

Seja   um espaço mensurável e considere para cada   uma função mensurável   Se   converge pontualmente para   então   é mensurável.[6]

Demonstração
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Corolário 2.41

Seja   um espaço mensurável. Se   e   são mensuráveis então as funções   e   são mensuráveis.[7]

Demonstração
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No desenvolvimento da teoria de integração, será importante considerar os seguintes tipos particulares de funções da forma   e  

Definição 2.42

Seja   um conjunto,   uma função e   a função nula. A parte positiva de   é a função definida por

 

Analogamente a parte negativa de   é a função definida por

 

Lema 2.45

Seja   um conjunto,   uma função e   a função nula. Então:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5. Se   é um espaço mensurável e   é mensurável, então     e   são mensuráveis;[8][ver nota 2]
  6. Se   é um espaço mensurável e tanto   quanto   são mensuráveis, então   e   são mensuráveis;
  7. Se   com   e   então   e  

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Obs. 2.46: O último item do Lema 2.45 pode ser interpretado da seguinte maneira:   e   são as menores funções não-negativas cuja diferença é   Neste sentido, pode-se dizer que a representação   é mínima.

NotasEditar

  1. Lembre-se que em   só os conjuntos limitados possuem esta propriedade
  2. Note que aqui é usada a convenção  

ReferênciasEditar

  1. Ver também: Isnard (2007), pág. 60.
  2. Conforme Isnard (2007), pág. 61, Corolário 5.7.
  3. Ver também Isnard (2007), pág. 116.
  4. Compare a Definição 1.9 com a definição de Isnard (2007), pág. 57.
  5. No livro de Isnard (2007), este teorema corresponde às proposições 5.6 (pág. 61) e 5.10 (i) (pág. 63).
  6. No livro de Isnard (2007), este corolário corresponde ao item (ii) da proposição 5.10 (pág. 63).
  7. No livro de Isnard (2007), este corolário aparece como caso particular do item (ii) na proposição 5.6 (pág. 61).
  8. No livro de Isnard (2007), este item corresponde ao corolário 5.7 (pág. 61).