Medida e integração/Funções simples e a topologia da reta estendida


Em linhas gerais, uma função simples é uma função que assume uma quantidade finita de valores. No contexto da teoria abordada neste livro, a definição de função simples incluirá algumas restrições adicionais, de modo que este nome possa ser usado apenas para se referir ao tipo de específico de função simples que é relevante para a integração.

Definição 3.1

Seja um espaço mensurável. Uma função simples sobre é qualquer função tal que é um conjunto finito.

ExemploEditar

A função   definida por   é uma função simples. De fato, tem-se

 

Isto significa que   que é finito. Observe ainda que  

Em geral, se   e se definem os conjuntos   para cada   de   a   resulta que   Note que   é uma partição finita de  

Por outro lado, sempre que se tem uma partição   finita de   e uma sequência finita   de elementos em   de modo que   quando   a equação   define uma função simples. É comum se referir ao segundo membro daquela equação como sendo a representação canônica de  

Lema 3.2

Seja   um espaço mensurável e   a função simples sobre   dada por

 

Então para que   seja mensurável é necessário e suficiente que cada   seja mensurável, onde  

Demonstração
Nesta demonstração, quando   será usada a notação   para indicar o conjunto  .

Primeiramente, supondo que   seja mensurável e observando que cada conjunto   é aberto em   tem-se   mensurável. Mas   então cada um dos conjuntos   é mensurável.

Como o complementar de um conjunto mensurável é mensurável, tem-se   mensurável para todo  

Reciprocamente, assumindo que   é mensurável quando   e tomando um aberto   de   deve-se mostrar que   é mensurável. Há dois casos que precisam ser considerados:

  1.  
  2.  

A primeira situação só pode ocorrer se   que é um conjunto mensurável. No segundo caso, o conjunto   é não vazio e é possível escrever   Sendo esta uma união finita de conjuntos mensuráveis, conclui-se que é mensurável.

Portanto a função   também é mensurável.


Teorema 3.4

Seja   um espaço mensurável. Se   e   é a função nula, então existe uma sequência   de funções simples, mensuráveis em   de modo que:

  1.   para todo  
  2.   em todo ponto  

Demonstração
Para cada   pode-se particionar o intervalo   em   intervalos iguais da seguinte forma:

 

Considere a pré-imagem por   de cada um destes intervalos:

 

e defina também

 

A seguir, será demonstrado que a sequência de funções   cujos termos são dados por

 

satisfaz as condições estipuladas no enunciado do teorema. Isto será feito em três etapas:

  1. A sequência é não-decrescente;
  2. A sequência é limitada superiormente por  
  3. A sequência converge pontualmente para  

Primeiramente, fixe um ponto   e um inteiro positivo   Para mostrar que   observe que:

 

Como   há duas possibilidades:

  1.   para algum   tal que  
  2.  

Na primeira delas, tem-se   e portanto   Mas

 

então   deve estar em um destes dois intervalos disjuntos, isto é,   ou   Se ocorrer   então   Por outro lado, caso ocorra   então  

Portanto,  

Na segunda possibilidade, tem-se   e consequentemente   Além disso,

 

então   deve estar em um destes dois intervalos disjuntos. No caso em que   isto é,   se deduz que   A outra alternativa é que   e de   se conclui que

 

Usando isto em conjunto com a desigualdade   se deduz que existe algum índice   tal que   e   Isto implica que   pela própria definição deste conjunto. Logo,   Com isto, se conclui a prova de que a sequência é não-decrescente.

Agora, para garantir que   basta observar que se   e   então

  •   implica   e portanto  
  •   implica   e portanto  

Finalmente,   em todo ponto   De fato, para cada   pode ocorrer   ou  

  • Se   então para cada   tem-se   e consequentemente   Logo,  
  • Se   então existe algum   para o qual   quando   Então para cada um destes valores de   tem-se   para algum   satisfazendo   ou seja,   Logo,   Neste caso,

 

Assim,   para todo   tal que  

Obs. 3.5: No caso em que   é uma função limitada, ou seja, quando existe uma constante   para a qual   em todo ponto   pode-se tomar   na prova acima. Nesta situação, a conclusão é que a sequência   converge uniformemente para  

Com relação as sequências cujos termos estão em   tem-se a seguinte propriedade: Se   e   são sequências não decrescentes em   ou seja,   e   para todo   e existem os limites   e   então  

Esta propriedade, juntamente com a Proposição 2.39 e o Teorema 3.4, implicam que se

Proposição 3.6

Se   e   são funções mensuráveis, então   e   também são mensuráveis.

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

NotasEditar


ReferênciasEditar