Medida e integração/Integração de funções mais gerais


Assim como no capítulo anterior, ao longo deste capítulo será suposto fixado um espaço com medida

Definição 6.1

Dado um espaço com medida uma função mensurável e um conjunto mensurável a integral de sobre é definida como sendo o elemento de dado por

desde que pelo menos uma das integrais que aparecem no segundo membro seja finita.

  • Obs. 6.2: Toda função que toma valores reais e é mensurável continua mensurável se for vista como uma função que toma valores na reta extendia, isto é, se é uma função mensurável, então a função definida por em cada também é mensurável. Consequentemente, a Definição 6.1 também é aplicável às funções mensuráveis.
Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa neste módulo.

Reciprocamente, dada qualquer função mensurável para a qual a sua restrição definida por em cada também é uma função mensurável.

Justificativa
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Definição 6.3

Dado um espaço com medida define-se o espaço das funções integráveis sobre em relação à medida [1] como sendo

O conjunto costuma ser simbolizado por notações mais simples como, por exemplo, ou mesmo Nestes casos, os itens que forem omitidos deverão estar claros pelo contexto. Alguns autores preferem usar , colocando o índice como sobrescrito[2].

Definição 6.4

Para cada par de funções mensuráveis e define-se a integral da função complexa em cada como sendo:

O leitor deve observar que as funções e que aparecem na Definição 6.4 são mensuráveis, reais e não-negativas. Deste modo, existem as integrais correspondentes sobre o conjunto (ver Definição 5.4). Note também que e também de modo que, pelos itens 1 e 2 da Proposição 5.9, as integrais destas funções são finitas e, consequentemente, conforme a Definição 6.1,

  • Obs. 6.5: Se então qualquer que seja , o valor da integral de em é real, isto é:

Justificativa
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O teorema a seguir mostra que é um espaço vetorial seminormado (ver exercício).

Teorema 6.6

Se e e e então

  1. é um espaço vetorial e a função , que associa com é uma seminorma sobre

NotasEditar


ReferênciasEditar

  1. O espaço   é um exemplo particular dos espaços   (formados pelas funções cuja  -ésima potência é integrável) que serão definidos mais adiante. Veja por exemplo, Rana (2002), Definição 8.4.1, p. 261.
  2. Ver, por exemplo, de Barra (2008), p. 109, seção 6.1.