Definição 4.1

  1. Seja uma -álgebra sobre um conjunto Uma medida positiva sobre é uma função satisfazendo a seguinte propriedade:
    1. Dada uma sequência de elementos de cujos termos são dois a dois disjuntos, vale
    2. Existe algum conjunto para o qual
  2. Um espaço com medida ou espaço de medida[1] é uma terna ordenada em que é uma -álgebra sobre o conjunto (ou seja, é um espaço mensurável) e é uma medida positiva sobre
  3. Uma medida complexa limitada é uma função para a qual para toda sequência disjunta de elementos de

  • Obs. 4.2: Apesar de serem chamadas de "positivas" as medidas abordadas neste capítulo tomam valores "não negativos". Neste sentido, talvez fosse preferível a terminologia "medida não negativa", em vez da adotada neste texto. No entanto, o uso da expressão mais simples não deve gerar confusão.
  • Obs. 4.3: A exigência de que algum elemento da -álgebra tenha medida finita é apenas para evitar trivialidades, como a "medida" que toma o valor infinito em todos os elementos de
  • Obs. 4.4: Uma vez que este capítulo irá abordar essencialmente as medidas positivas, elas serão chamadas simplesmente de "medidas" quando isto não causar confusão.

Proposição 4.5

Se é uma medida positiva sobre uma -álgebra então:

  1. Se é uma sequência disjunta finita cujos termos estão em então
  2. Se e estão em e então e Se, além disso, então
  3. Se é uma sequência cujos termos estão em e verificam para todo então
  4. Se é uma sequência cujos termos estão em e verificam para todo e então

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.
  • Obs. 4.6: Com exceção do terceiro item desta proposição, as demais propriedades continuam valendo no caso das medidas complexas finitas, pois a prova é idêntica.

Antes de passar aos exemplos mais interessantes de medidas, pode-se apresentar alguns tipos bem simples, conforme os próximos exemplos mostram. A medida de Lebesgue sobre possui uma construção mais elaborada, e por isso será introduzida em um capítulo posterior.

ExemplosEditar

Medida da contagem
Dado um conjunto arbitrário   pode-se definir uma medida   da seguinte maneira:

 

A verificação de que esta função é realmente uma medida fica a cargo do leitor. Sinta-se convidado a melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Medida de Dirac em  
Dado um conjunto arbitrário   e um ponto qualquer   define-se   como

 

A verificação de que esta função é realmente uma medida fica a cargo do leitor. Sinta-se convidado a melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Esta medida também é conhecida popularmente pelo nome de "medida da massa unitária concentrada em  ".

Generalização
Os exemplos anteriores são casos particulares de um tipo mais geral de medida. Para perceber isto, é preciso considerar um tipo de "soma" que envolve famílias não enumeráveis de números reais não negativos. Considere um conjunto   e uma função   Defina

 

Posteriormente será visto que esta soma é a "integral de  " em relação a medida da contagem sobre   Agora que foi estabelecida uma notação para este tipo de soma, observe que a função   determina uma medida positiva sobre a  -álgebra   da seguinte maneira:

 

Com as notações anteriores, tem-se a medida da contagem sobre   quando   é a função constante igual a  

Analogamente, a medida de Dirac em   é obtida quando existe algum   tal que

 

Contra-exemplo
No último item da Proposição 4.5, é realmente necessário que se verifique a hipótese   caso contrário não se tem garantia sobre qualquer relação entre   e   Por exemplo, se   é a medida da contagem sobre   e se define para cada   o conjunto   então obviamente   para todo   e   No entanto,   para todo   e, em particular,   Neste caso,

 

Sobre a as notações e a terminologiaEditar

Na definição Definição 4.1, caracterizou-se um "espaço de medida" como sendo uma terna ordenada   em que   é um conjunto,   é uma  -álgebra sobre   e   é uma medida positiva sobre   Analogamente, na definição de "espaço mensurável", é explicitado um par ordenado   no qual   é um conjunto e   é uma  -álgebra sobre   A presença de todo este formalismo é geralmente vantajosa, e por vezes necessária, principalmente ao se definir os novos conceitos. No entanto, tal formalismo é de certo modo dispensável: Ao definir um espaço de medida   é considerada a função   Como toda função tem um domínio, e no caso de   o domínio é uma  -álgebra, basta conhecer a medida para saber quem é   Além disso, sabendo-se quem é   se deduz qual é o conjunto   pois ele é simplesmente o maior conjunto que pertence a qualquer  -álgebra sobre  

Sendo assim, é aceitável usar expressões informais como, por exemplo, "seja   uma medida". No caso de ser necessário dar alguma ênfase para a  -álgebra ou para o conjunto   poderia ser dito "seja   uma medida sobre  " ou "seja   uma medida sobre X".

Em síntese, é de uso corrente nos livros da área expressões e notações simples, em vez de suas formulações "logicamente impecáveis", então o leitor não deve se espantar ao se deparar com frases do tipo "seja   um espaço com medida", já que em tais situações ficará implícito que há alguma medida definida sobre alguma  -álgebra sobre   conforme as observações anteriores sugerem.

Ver tambémEditar

NotasEditar

  1. Magalhães (2006), p. 199