Topologia/Espaços métricos

Espaços métricosEditar

Seja M um conjunto não-vazio e   uma função. Dizemos que   é um espaço métrico se, para todo  , a função d satisfizer as seguintes propriedades:

  • M1:  ;
  • M2:  , simetria;
  • M3:  ;
  • M4:  , desigualdade trigonométrica.

Define-se, num espaço métrico M, a bola aberta de centro em x e raio    .

Estrutura de espaço topológicoEditar

Pode-se provar que o conjunto   é uma topologia sobre M. De fato, temos, por vacuidade,   e, para quaisquer  ,  , donde  . Sejam   e  . Então existem   tais que   e  . Escolhemos  . Vemos que   e  , logo   e  . Seja   uma família em T. Se  , então, para algum μ,  , donde existe um   tal que  . Logo  . Isto completa a demonstração de que T é uma topologia sobre M.