Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões
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Definimos a função:
<math>y=\ \mbox{arcsec}(x)\,\!</math>,
arcsecante de ''x'', como a inversa da função:
Linha 486:
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sec^{-1} x\ ,\ \csc^{-1} x</math> ou <math>\sec^{-1} (x)\ ,\ \csc^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsec x\ ,\ \arccsc x</math> ou <math>\arcsec (x)\ ,\ \arccsc (x)</math> para representação de arcsecante e arccossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}
secante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)\,\!</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função <math>\ \mbox{arcsec}(x)\,\!</math> é relacionada a função <math>\ \mbox{arccos}(x)\,\!</math> como segue:
<math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left(\frac{1}{x} \right)\,\!</math>
Do mesmo modo podemos definir a função:
<math>z=\ \mbox{arccosec}(t)\,\!</math>,
arccosecante de ''t'', como a inversa da função:
<math>t=\ \mbox{cosec}(z)\,\!</math>,
cosecante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)\,\!</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função <math>\ \mbox{arccosec}(x)\,\!</math> é relacionada a função <math>\ \mbox{arcsen}(x)\,\!</math> como segue:
<math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arcsen} \left(\frac{1}{x} \right)\,\!</math>
==== Derivadas da arcsecante e arccossecante ====
Linha 510:
Seja a função:
<math>y=\ \mbox{arcsec}(x)\,\!</math>
que tem correspondência em:
<math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left (\frac{1}{x} \right)\,\!</math>
Sendo:
<math>\frac{d[\ \mbox{arccos}(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{dt}{dx}\right)\,\!</math>
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x} \right)^2}} \left( - \frac{1}{x^2}\right)\,\!</math>
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{|x|}{x^2 \sqrt{x^2-1}}\,\!</math>
Portanto:
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}\,\!</math>
para <math>|x|>1\,\!</math>
==== Integrais da arcsecante e arccossecante ====
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