Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões
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→Tangente e secante: (ajuste de formatação) |
→Cotangente e cossecante: (Ajuste de formatação) |
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Linha 206:
Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:
<math>\frac{1}{\ \mbox{cotg}(x)}=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math>
O que nos revela:
<math>\ \mbox{cotg}(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math>
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\cot x\ ,\ \csc x</math> ou <math>\cot (x)\ ,\ \csc (x)</math> para representação de cotangente e cossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}
Linha 216:
Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:
<math>\frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{cotg}(x)}</math>
<math>\frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\cos(x)\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math>
Que define a cossecante como:
<math>\ \mbox{cosec}(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math>
Linha 231:
'''Conseqüentes das definições:'''
<math>\ \mbox{sen}(x)\ \mbox{cosec}(x)=1</math>
<math>\cos(x)\sec(x)=1 \,\!</math>
<math>\mbox{tg}(x)\ \mbox{cotg}(x)=1</math>
==== Derivada da cotangente ====
Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotg}(x)</math>, considerando que:
<math>f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math>
Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]:
<math>f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math>
<math>f\ '(x)=-\frac{\ \mbox{sen}^2 (x)+cos^2 (x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math>
<math>f\ '(x)=-\frac{1}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math>
Portanto:
<math>f\ '(x)=-\ \mbox{cosec}^2 (x)</math>
==== Derivada da cossecante ====
Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cosec}(x)</math>, considerando que:
<math>f(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math>
Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]:
<math>f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)\cdot 0 - 1 \cdot \cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math>
<math>f\ '(x)=\frac{-\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} \cdot \frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math>
Portanto:
<math>f\ '(x)=-\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)</math>
==== Integral da cotangente ====
Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotg}(x)</math>, considerando que:
<math>f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math>
Sua integral é:
<math>F(x)=\int \ \mbox{cotg}(x) dx </math>
<math>F(x)=\int \frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} dx </math>
Sendo <math>u=\ \mbox{sen}(x)</math>:
<math>du= \cos(x) dx</math>
Logo:
Linha 294:
E, por substituição:
<math>F(x)=\ln|\ \mbox{sen}(x)| + C </math>
==== Integral da cossecante ====
Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cosec}(x)</math>,
Sua integral é:
<math>F(x)=\int \ \mbox{cosec}(x) dx </math>
Sendo <math>u=\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)</math>:
<math>du= [\ \mbox{cosec}^2 (x)-\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)]dx</math>
Podemos então multiplicar e dividir ''u'' na equação da integral anterior:
<math>F(x)=\int \frac{\ \mbox{cosec}^2 (x)-\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)}{\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)} dx </math>
Logo:
Linha 318:
E, por substituição:
<math>F(x)=\ln|\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)| + C </math>
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