Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
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Teorema: →Diferença de quadrados: + exemplos |
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Se você interpretar essas equações adequadamente, concluirá que <math>u,v\,\!</math> devem ter a mesma paridade (ser ambos pares ou ambos ímpares). De fato, se um deles for par e o outro for ímpar, sua soma será um número ímpar, e consequentemente não poderá ser escrita como <math>2x\,\!</math>, para nenhum valor inteiro <math>x\,\!</math>.
Na verdade, com pouca ou nenhuma argumentação extra, prova-se a validade do seguinte teorema
=== Teorema ===
{{Teorema|texto=
Um número inteiro <math>n\,\!</math> pode ser escrito como a diferença de dois quadrados perfeitos, <math>n = x^2 - y^2\,\!</math>, se e somente se <math>n\,\!</math> é ímpar ou múltiplo de <math>4\,\!</math>.
}}
{{Demonstração|
A argumentação precedente mostrou que se <math>n = x^2 - y^2\,\!</math> então <math>n=u\cdot v\,\!</math>, sendo que <math>u,v\,\!</math> têm a mesma paridade.
Reciprocamente, se <math>u,v\,\!</math> têm a mesma paridade, então sua soma e sua diferença são números pares, significando que o sistema
:<math>\left\{\begin{matrix}
2x & = & u + v\\
2y & = & u - v\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
possui uma solução. Mas o conjunto solução deste sistema coincide com o de:
:<math>\left\{\begin{matrix}
x + y & = & u\\
x - y & = & v\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
Logo, <math>n = u\cdot v = (x+y)(x-y) = x^2 - y^2\,\!</math>.
Para finalizar a demonstração, note que as paridades de <math>u,v\,\!</math> são iguais se, e somente se:
# <math>u,v\,\!</math> são ''ímpares'' ou
# <math>u,v\,\!</math> são ''pares''
Mas <math>u,v\,\!</math> são ímpares se, e somente se, <math>n\,\!</math> é ímpar.
Além disso, para que <math>u,v\,\!</math> sejam pares, é necessário e suficiente que <math>u=2r\,\!</math> e <math>v=2s\,\!</math>. Neste caso, <math>n=u\cdot v = (2r)\cdot (2s) = 4(rs)\,\!</math>, ou seja, <math>n\,\!</math> é múltiplo de <math>4\,\!</math>.
}}
Uma forma direta de obter a representação de <math>n\,\!</math> como diferença de quadrados é a seguinte:
* Se <math>n\,\!</math> é múltiplo de <math>4\,\!</math>.
:Nessa situação, <math>n = 4k = (k+1)^2-(k-1)^2\,\!</math>.
* Se <math>n\,\!</math> é ímpar.
:Nesse caso, <math>n = 4t+1 = (k+1)^2-k^2\,\!</math>.
=== Exemplo ===
Com esse resultado, conclúi-se que não há solução para o problema dado em um exemplo anterior:
* <math>x^2 - y^2 = 30\,\!</math>
De fato, <math>30\,\!</math> não é ímpar e nem múltiplo de <math>4\,\!</math>.
Por outro lado, usando a fórmula anterior, fica fácil resolver:
* <math>x^2 - y^2 = 32\,\!</math>
Como <math>32 = 4 \cdot 8\,\!</math>, segue que <math>32 = (8+1)^2 - (8-1)^2 = 81 - 49\,\!</math>
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