Mecânica dos fluidos/Tensão superficial Formalização

Tensão superficial

Sempre que um líquido entra em contato com outra substância, seja ela um sólido, um gás ou outro líquido, desenvolve-se uma interface entre ele e os demais, causada pelo fenômeno de coesão entre moléculas similares. Na interface ocorre uma mudança abrupta de pressão. Em uma gota de água que cai, por exemplo, a pressão interna é muito superior à pressão atmosférica externa. A tensão superficial faz com que a interface comporte-se como se fosse uma membrana elástica real. Essa membrana recebe o nome genérico de menisco.

Diferentemente das tensões vistas anteriormente, que possuem a dimensão de força por área, a tensão superficial possui a dimensão de força por unidade de comprimento (ou energia por área). Para entender por que, considere uma gota de líquido em repouso sobre uma superfície sólida. A diferença de pressão ΔP entre o interior e o exterior do menisco faz com que a superfície da gota se curve, de forma que a somatória das forças resultantes da tensão superficial possua uma componente normal à superfície (F_N), e essa componente equilibre a diferença de pressões. Define-se então a tensão superficial $\gamma$ como a relação entre F_N e o dobro do raio de curvatura médio da superfície (${\bar {R}}$).

Forças devidas à tensão superficial em atuação sobre um menisco. δθ_x e δθ_y indicam a curvatura em cada dimensão.

$\gamma \;=\;{\frac {F_{N}}{2{\bar {R}}}}$

Como

${\frac {1}{\bar {R}}}\;=\;{\frac {1}{2}}\cdot ({\frac {1}{R_{x}}}+{\frac {1}{R_{y}}})$

onde R_x e R_y são os raios de curvatura em cada um dos eixos paralelos à superfície; obviamente

$F_{N}\;=\;\Delta P$

Portanto

$\Delta P\;=\;\gamma ({\frac {1}{R_{x}}}+{\frac {1}{R_{y}}})$

que é conhecida como a equação de Young–Laplace.

A formação do menisco na interface líquido/gás é que permite a flutuação de objetos mais densos que o líquido (por exemplo, uma agulha ou um inseto). Além desse, são três os efeitos importantes da tensão superficial na prática:

• Modificação da superfície de contato no encontro de três substâncias
• Ascensão e depressão capilar de líquidos em tubos estreitos
• Formação de ondas acústicas na superfície de um líquido

Modificação da superfície de contato no encontro de três substâncias

Considere-se uma gota de água pousada sobre uma superfície sólida lisa, tendo o ar como meio circundante. Verifica-se que a gota de água sofre uma deformação, devida ao seu próprio peso, que provoca o seu achatamento. As tensões superficiais, no entanto, impedem que a água se espalhe totalmente sobre a superfície; o menisco que envolve a gota faz com que se forme uma calota esférica no local. Nesse caso, a tensão superficial entre a água e o ar ($\gamma _{lg}$) e a tensão superficial entre a água e o sólido ($\gamma _{ls}$) determinam como o menisco deve ser deformado, formando um ângulo de contato $\theta$ com a superfície sólida no ponto de encontro ar/água/sólido, de forma que todas as forças envolvidas estejam em equilíbrio. Os valores dependem não só da natureza do conjunto de substâncias em contato, mas também da pureza das mesmas.

Forças no ponto de contato das três substâncias em um recipiente aberto contendo líquido

Outro caso de interesse ocorre quando uma quantidade de líquido é contida em um recipiente aberto. Existe aí uma interface líquido/ar no topo e uma interface líquido/sólido nas paredes do recipiente. No ponto de contato dessas interfaces, a geometria deve ser tal que haja equilíbrio de forças. Isso implica em

$\cos \theta \;=\;{\frac {\gamma _{lg}}{\gamma _{sg}\;-\;\gamma _{ls}}}$

Ou seja, se a tensão superficial na interface parede/ar for maior que a tensão superficial na interface líquido/parede o ângulo de contato será menor que 90°; caso contrário, o ângulo de contato será maior que 90°. Se a diferença entre essas tensões for exatamente igual à tensão superficial na interface líquido/ar, o ângulo de contato será igual a 180°. Finalmente, se a tensão superficial nas interfaces parede/ar e líquido/parede for igual, o ângulo de contato será exatamente igual a 90°.

Surfactantes são substâncias que se misturam aos líquidos com a finalidade de diminuir a tensão superficial, mantendo-se as demais propriedades relativamente inalteradas. Tais substâncias encontram larga aplicação prática. Por exemplo, surfactantes são adicionados aos detergentes para facilitar a penetração da água.

Ascensão e depressão capilares em tubos estreitos

Ação capilar: vermelho=ângulo de contato menor que 90°; azul=ângulo de contato maior que 90°

Um barômetro tradicional consiste de um tubo de vidro vertical de cerca de 1 cm de diâmetro parcialmente cheio de mercúrio e com vácuo na parte superior. A superfície do mercúrio é deformada pela tensão superficial, neste caso com $\theta \;>\;90^{o}$ (menisco convexo), diminuindo a superfície de contato do mercúrio com o vidro. Se, em lugar de vidro, o tubo fosse feito de cobre, o ângulo de contato seria menor que 90°, dando origem a um menisco côncavo. Isso ocorre porque o mercúrio adere bastante ao cobre, e muito pouco ao vidro. Quando um líquido adere ao recipiente, é preciso considerar a tensão superficial $\gamma _{ls}$ como tendo um valor negativo, uma vez que o comportamento do líquido se faz no sentido de aumentar a área de contato, não de diminuí-la.

Se o tubo for suficientemente estreito e a adesão do líquido às paredes, suficientemente grande, verifica-se o fenômeno conhecido como ancensão capilar, com a coluna de líquido sendo levantada pela ação da tensão superficial. Reciprocamente, se a repulsão for suficientemente grande, a coluna de líquido será rebaixada (depressão capilar). Considere-se um tubo de diâmetro $D$ contendo um líquido de densidade $\rho$. O elemento de volume $\delta V$, situado no topo do tubo, em contato com o ar, está sujeito a uma força vertical descendente $F_{g}$, devida ao seu peso. Aparecerá também uma força $F_{T}$, tangencial à superfície superior do tubo, na interface entre o líquido e as paredes do tubo, devido à tensão superficial $\gamma$. Com isso, a superfície superior do elemento de volume se torna curva (côncava), formando um ângulo $\theta$ com as laterais do tubo. Essa força $F_{T}$ terá uma componente vertical ascendente $F_{V}$.

$F_{g}\;=\;\delta m\cdot g\;=\;\rho \cdot \delta V\cdot g\;=\;\rho \cdot {\frac {\pi D^{2}}{4}}\cdot \delta h\cdot g$

$F_{T}\;=\;\gamma \cdot \pi D$

$F_{V}\;=\;F_{T}\cos \theta \;=\;\gamma \cdot \pi D\cdot \cos \theta$

No equilíbrio:

$F_{g}\;=\;F_{V}\Rightarrow \;\;\;\rho g{\frac {\pi D^{2}}{4}}\delta h\;=\;\gamma \pi D\cos \theta$

Assim:

$\delta h\;=\;{\frac {4\gamma \cos \theta }{\rho gD}}$

Exercícios resolvidos

• A3