Matemática elementar/Plano de Argand-Gauss/Raízes complexas

Considere uma expressão do tipo xⁿ = a + bi. Para um índice n, como podem ser calculadas as soluções para a expressão? Este problema pode ser aplicado, por exemplo, em

• x² = 4
• x³ = 2 + i
• x⁴ = 3i

O método para encontrarmos os valores de xⁿ que se igualem a a + bi consiste em aplicar valores ao plano de Argand-Gauss. Para isto, você deve saber que

No plano Argand-Gauss, as raízes são os vértices de um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência na qual o centro é a origem. Para n = 2 (raízes quadradas) originar-se-á uma reta que passa pela origem.

As raízes quintas de 1 no plano de Argand-Gauss originam um pentágono regular.

A partir disto, podemos chegar às seguintes conclusões:

• Se n é ímpar, haverá, no máximo, uma raiz real (pois não poderá haver um segundo vértice oposto ao primeiro no eixo real);
• Se n é par, o número de raízes reais é par (pois obrigatoriamente haverá um segundo vértice oposto ao primeiro).

Neste caso, seria representado um quadrado, e portanto, quatro raízes.

Além disso, a distância entre um vértice e outro é constante (por tratar-se de um polígono regular). Então podemos dizer que a partir de um vértice A neste plano, os pontos seguintes serão parte de uma progressão aritmética, onde a soma de n distâncias deve completar o círculo. Portanto, a diferença d, em radianos, entre um vértice e outro é dada por

$d={\frac {2\pi }{n}}$

Introduzindo o conceito de progressão aritmética, temos que a_x = a₁ + (x - 1)r em que x é o termo da progressão. Então:

$a_{x}=a_{1}+(x-1){\frac {2\pi }{n}}$

Pelo fato de x ter de ser um número natural diferente de zero, o resultado de (x - 1) é, obrigatoriamente, maior ou igual a zero. Como nos interessa determinar todas as raízes da expressão, devemos substituir x por cada n. Desta forma, o primeiro (x - 1) da nossa progressão será zero, o segundo igual a 1, o terceiro igual a 2, e assim sucessivamente. Substituiremos, então, x - 1 por k, que é o número natural que determinará cada raiz, para k < n:

$a_{x}=a_{1}+{\frac {k2\pi }{n}}$

Se neste plano o ponto (A,B) representa o primeiro vértice de um polígono no primeiro quadrante, então α é o argumento.

Nestes casos, o nosso termo a₁ é o quociente entre o argumento θ e n (representa o ângulo entre o eixo real e a semirreta que une a origem e o primeiro vértice do primeiro quadrante). Representaremos o conceito de raíz por z_k em vez de a_x. As coordenadas de cada vértice são determinadas a partir do valor absoluto. A parte real é calculada pelo cosseno, enquanto a parte imaginária pelo seno. As coordenadas (Re, Im) devem ser iguais, pelo fato de a distância entre o lugar geométrico e os vértices do polígono serem constantes:

$z_{k}=\cos {\frac {\theta +k2\pi }{n}}+\sin {\frac {\theta +k2\pi }{n}}i$

Falta-nos determinar o apótema de nosso polígono (raio do círculo), que introduzido na fórmula:

$z_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\theta +k2\pi }{n}}+\sin {\frac {\theta +k2\pi }{n}}i\right)$

Para r o valor absoluto da expressão.

A fórmula gerada chama-se segunda fórmula de Moivre.

Exemplo 1

Se -8 = x³ então quais os valores de x?

• Primeiramente, transformaremos o monômio para a forma a + bi:

${\begin{cases}a=-8\\b=0\end{cases}}$

• Calcularemos o valor absoluto (r):

$r={\sqrt {-8^{2}+0^{2}}}=8$

• Agora podemos descobrir o argumento (θ):

$-8=8\cos \theta \to \theta =\arccos -1\to \theta =\pi$

• Temos que n = 3 (pois a raiz é cúbica). Como {k ∈ N| 0 ≤ k < n}, a nossa progressão terá k=0, k=1 e k=2. Iniciaremos por k=0, através da segunda lei de Moivre:

$z_{0}={\sqrt[{3}]{8}}\left(\cos {\frac {\pi +0\times 2\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi +0\times 2\pi }{3}}i\right)=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}i\right)=1+{\sqrt {3}}i$

• Para k=1:

$z_{1}={\sqrt[{3}]{8}}\left(\cos {\frac {\pi +1\times 2\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi +1\times 2\pi }{3}}i\right)=2\left(\cos \pi +\sin \pi i\right)=-2$

• E para k=2:

$z_{2}={\sqrt[{3}]{8}}\left(\cos {\frac {\pi +2\times 2\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi +2\times 2\pi }{3}}i\right)=2\left(\cos {\frac {5\pi }{3}}+\sin {\frac {5\pi }{3}}i\right)=1-{\sqrt {3}}i$

Portanto, os valores de x são -2, 1 + √3i e 1 - √3i.

Exemplo 2

Se x² = 1 + √3i, quais os valores de x?

• Na forma a + bi teremos:

${\begin{cases}a=1\\b={\sqrt {3}}\end{cases}}$

• E o valor absoluto:

$r={\sqrt {1^{2}+({\sqrt {3}})^{2}}}=2$

• Teremos o argumento:

$1=2\cos \theta \to \theta =\arccos {\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}$

• As raízes serão dadas por k=0 e k=1 através da segunda fórmula de Moivre:

$z_{0}={\sqrt[{2}]{2}}\left(\cos {\frac {{\frac {\pi }{3}}+0\times 2\pi }{2}}+\sin {\frac {{\frac {\pi }{3}}+0\times 2\pi }{2}}i\right)={\sqrt[{2}]{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{6}}+\sin {\frac {\pi }{6}}i\right)={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}i}{2}}$

$z_{1}={\sqrt[{2}]{2}}\left(\cos {\frac {{\frac {\pi }{3}}+1\times 2\pi }{2}}+\sin {\frac {{\frac {\pi }{3}}+1\times 2\pi }{2}}i\right)={\sqrt[{2}]{2}}\left(\cos {\frac {7\pi }{6}}+\sin {\frac {7\pi }{6}}i\right)={\frac {-{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}i}{2}}$

Que são os valores de x.

Exemplo 3

Sabendo que na imagem abaixo há um hexágono regular inscrito em uma circunferência cujo o centro é a origem do plano de Argand-Gauss, qual a expressão em que suas raízes representam os vértices deste polígono?

• Vemos que o valor absoluto da expressão é igual a 1, então

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1$

• Observa-se, também, que a primeira raiz do primeiro quadrante localiza-se sobre o eixo real, logo, o argumento é igual a zero:

${\begin{cases}a=\cos 0\\b=\sin 0\end{cases}}$

• Sabemos que o cosseno de zero é igual a 1, e o seno de zero igual a zero. Observamos, também, que n = 6 (pois o polígono tem seis lados). Concluímos que a expressão representada no plano é x⁶ = 1.