Matemática elementar/Plano de Argand-Gauss/Raízes complexas
Considere uma expressão do tipo xn = a + bi. Para um índice n, como podem ser calculadas as soluções para a expressão? Este problema pode ser aplicado, por exemplo, em
- x2 = 4
- x3 = 2 + i
- x4 = 3i
O método para encontrarmos os valores de xn que se igualem a a + bi consiste em aplicar valores ao plano de Argand-Gauss. Para isto, você deve saber que
A partir disto, podemos chegar às seguintes conclusões:
- Se n é ímpar, haverá, no máximo, uma raiz real (pois não poderá haver um segundo vértice oposto ao primeiro no eixo real);
- Se n é par, o número de raízes reais é par (pois obrigatoriamente haverá um segundo vértice oposto ao primeiro).
Além disso, a distância entre um vértice e outro é constante (por tratar-se de um polígono regular). Então podemos dizer que a partir de um vértice A neste plano, os pontos seguintes serão parte de uma progressão aritmética, onde a soma de n distâncias deve completar o círculo. Portanto, a diferença d, em radianos, entre um vértice e outro é dada por
Introduzindo o conceito de progressão aritmética, temos que ax = a1 + (x - 1)r em que x é o termo da progressão. Então:
Pelo fato de x ter de ser um número natural diferente de zero, o resultado de (x - 1) é, obrigatoriamente, maior ou igual a zero. Como nos interessa determinar todas as raízes da expressão, devemos substituir x por cada n. Desta forma, o primeiro (x - 1) da nossa progressão será zero, o segundo igual a 1, o terceiro igual a 2, e assim sucessivamente. Substituiremos, então, x - 1 por k, que é o número natural que determinará cada raiz, para k < n:
Nestes casos, o nosso termo a1 é o quociente entre o argumento θ e n (representa o ângulo entre o eixo real e a semirreta que une a origem e o primeiro vértice do primeiro quadrante). Representaremos o conceito de raíz por zk em vez de ax. As coordenadas de cada vértice são determinadas a partir do valor absoluto. A parte real é calculada pelo cosseno, enquanto a parte imaginária pelo seno. As coordenadas (Re, Im) devem ser iguais, pelo fato de a distância entre o lugar geométrico e os vértices do polígono serem constantes:
Falta-nos determinar o apótema de nosso polígono (raio do círculo), que introduzido na fórmula:
Para r o valor absoluto da expressão.
A fórmula gerada chama-se segunda fórmula de Moivre.
Exemplo 1
editar- Primeiramente, transformaremos o monômio para a forma a + bi:
- Calcularemos o valor absoluto (r):
- Agora podemos descobrir o argumento (θ):
- Temos que n = 3 (pois a raiz é cúbica). Como {k ∈ N| 0 ≤ k < n}, a nossa progressão terá k=0, k=1 e k=2. Iniciaremos por k=0, através da segunda lei de Moivre:
- Para k=1:
- E para k=2:
Portanto, os valores de x são -2, 1 + √3i e 1 - √3i.
Exemplo 2
editar- Na forma a + bi teremos:
- E o valor absoluto:
- Teremos o argumento:
- As raízes serão dadas por k=0 e k=1 através da segunda fórmula de Moivre:
Que são os valores de x.
Exemplo 3
editar- Vemos que o valor absoluto da expressão é igual a 1, então
- Observa-se, também, que a primeira raiz do primeiro quadrante localiza-se sobre o eixo real, logo, o argumento é igual a zero:
- Sabemos que o cosseno de zero é igual a 1, e o seno de zero igual a zero. Observamos, também, que n = 6 (pois o polígono tem seis lados). Concluímos que a expressão representada no plano é x6 = 1.