Teoria dos conjuntos/Números ordinais

Nos capítulos anteriores foram apresentados os ordinais segundo von Neumann, e foram exibidas e demonstradas várias propriedades. Este capítulo sintetiza os resultados anteriores e apresenta novos resultados.

Ordinais

Conforme visto no capítulo Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união, um ordinal segundo von Neumann é um conjunto α satisfazendo:

• Existe uma relação bem ordenada ((α, α), R)
• Esta relação satisfaz $\forall x,y\in \alpha ,((x,y)\in R\iff x\in y)\,$
• Todo elemento de α é um subconjunto de α (ou seja, $\forall x\in \alpha ,(x\subseteq \alpha ))\,$

Classificação dos ordinais

Vimos até agora dois tipos de ordinal:

• $\varnothing \,$ - o conjunto vazio
• s(α) - o sucessor de um outro ordinal

Um terceiro tipo de ordinal, ordinal limite, é definido como um ordinal que não é nem o conjunto vazio nem o sucessor de outro ordinal. Ainda não vimos se existe, mas, se existir, este ordinal tem uma propriedade notável:

• Seja α um ordinal limite. Então $\alpha =\bigcup _{x\in \alpha }x\,$.

Prova: já vimos anteriormente que $\bigcup _{x\in \alpha }x\,$ é um ordinal (ver Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união). É imediato verificar que $\bigcup _{x\in \alpha }x\subseteq \alpha \,$. Suponha, portanto, que $\bigcup _{x\in \alpha }x\subset \alpha \,$, então mostraremos que α é um ordinal sucessor, o que completa a prova.

Mas se $\bigcup _{x\in \alpha }x\subset \alpha \,$, então temos que existe um elemento $\beta \in \alpha \,$ tal que $\beta \not \in \bigcup _{x\in \alpha }x\,$. Mas vimos anteriormente (ver Axioma da potência) que $\beta \in \alpha \implies (s(\beta )=\alpha \lor s(\beta )\in \alpha )\,$, Neste caso, $s(\beta )\,$ não pode ser elemento de α, portanto α = s(β).

A recíproca é obviamente verdadeira: se temos um ordinal α em que $\alpha =\bigcup _{x\in \alpha }x\,$, então obviamente α não é um ordinal sucessor (é imediato verificar que $\bigcup _{x\in s(\alpha )}x\subset s(\alpha )\,$, pois α é um elemento de s(α) mas não é um elemento de algum elemento de s(α)), então este ordinal é o conjunto vazio ou um ordinal limite.

A boa ordenação dos ordinais

O que foi visto até agora permite escrever as seguintes propriedades:

$Ord(\alpha )\land Ord(\beta )\implies (\alpha \in \beta \lor \alpha =\beta \lor \beta \in \alpha )\,$

$Ord(\alpha )\land Ord(\beta )\implies (\alpha \in \beta \iff \alpha \subset \beta )\,$

Por definição, se S for um conjunto não-vazio de ordinais contido em algum outro ordinal, então S possui elemento mínimo (considerando a relação de ordem total definida por $x\in y\,$).

Este fato pode ser generalizado: se S for um conjunto não-vazio de ordinais, então S tem um elemento mínimo.

Na verdade, podemos generalizar ainda mais: se Φ(x) for uma propriedade escrita na linguagem formal da teoria dos conjuntos através de uma fórmula bem formada, e existir algum ordinal α que satisfaça Φ(α), então existe um ordinal μ que é mínimo para Φ(x), ou seja, que, qualquer que seja x satisfazendo Φ(x) temos que x = μ ou $\mu \in x\,$.

Informalmente, costuma-se dizer que uma propriedade Φ(x) que pode valer ou não valer conforme o conjunto x define uma classe; existem outras apresentações da teoria dos conjuntos em que o conceito de classe faz parte da teoria. Este teorema, então, diz que uma classe não-vazia de ordinais tem um elemento mínimo.

Note-se que este não é apenas um teorema: é um esquema de teoremas, e para cada fórmula Φ(x) temos uma nova versão do teorema.

Prova: suponha que a fórmula Φ(x) seja satisfeita para os ordinais α e β.

Então vamos formar os conjuntos (bem definidos, pelo Axioma da extensão):

$S_{A}=\{x\in s(\alpha )\ |\ \Phi (x)\}\,$

$S_{B}=\{x\in s(\beta )\ |\ \Phi (x)\}\,$

Estes conjuntos são subconjuntos não-vazios de ordinais (por exemplo, $\alpha \in S_{A}\subseteq s(\alpha )\,$), logo podemos tomar seus mínimos

$a=\min _{s(\alpha )}S_{A}\,$

$b=\min _{s(\beta )}S_{B}\,$

Afirmação: a = b.

Prova: sem perda de generalidade, se a ≠ b, suponhamos que $a\in b\,$. Neste caso, como $b\in s(\beta )\,$, pela transitividade, $a\in s(\beta )\,$, ou seja, $a\in S_{B}\,$, contradizendo o fato de b ser mínimo.

Ou seja, se a fórmula Φ(x) é satisfeita por qualquer ordinal, então o mínimo de Φ(x) existe e não depende do ordinal escolhido, ou seja, ele existe e é único.