Teoria dos conjuntos/O conjunto dos números naturais
O objetivo deste capítulo é mostrar que o conjunto dos números naturais existe, é único, e provar algumas de suas propriedades básicas.
Um capítulo anterior (Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união) definiu o que um conjunto deve satisfazer para ser chamado de um número natural.
O Axioma do infinito diz que existe um conjunto que inclui o conjunto vazio e, para cada elemento seu, inclui o seu sucessor (definido no capítulo Axioma da união). Assim, para cada conjunto que o axioma do infinito provém, podemos definir, pelo Axioma da extensão, um conjunto dos números naturais - o que prova a existência.
Nosso primeiro objetivo é mostrar que todo número natural é elemento de qualquer conjunto dos números naturais; com isto mostramos que este conjunto é único.
Unicidade
editarDevemos provar o seguinte:
- Seja A um conjunto que satisfaz ao Axioma do infinito. Então todo número natural n é um elemento de A.
Como vimos antes, n é um número natural quando:
- n é o conjunto vazio ou n é um sucessor de algum seu elemento
- todo elemento de n é o conjunto vazio ou um sucessor de algum seu elemento
Nos capítulos anteriores, mostramos vários teoremas a respeito dos números naturais. Em particular, no capítulo sobre o Axioma da regularidade, mostramos que para todo número natural n e todo subconjunto K de n satisfazendo:
temos que K = n.
É óbvio como provaremos que todo número natural n é elemento de A: basta formar o subconjunto e mostrar que .
É imediato que:
- Como , temos que
- Como e , temos que
O que completa a prova.
Assim, sendo A e B dois conjuntos que satisfazem ao Axioma do infinito, pelo Axioma da separação, podemos definir:
é imediato que , ou seja, temos que o conjunto dos números naturais existe e é único, o que justifica a definição:
Princípio da indução finita
editarA unicidade de permite imediatamente demonstrar vários fatos.
Por exemplo, seja K um subconjunto de satisfazendo:
Então, obviamente, K é um conjunto que satisfaz ao Axioma do infinito, então , completando a prova.
Esta propriedade costuma ser apresentada como um esquema de teoremas: seja P(x) uma propriedade escrita na linguagem formal da teoria dos conjuntos.
Então se:
então
A demonstração parte da construção do conjunto , e aplicando-se o resultado anterior para provar que .
Todo número natural é um número ordinal
editarA indução finita torna muito simples várias propriedades dos números naturais.
Por exemplo, podemos provar que todo número natural é um número ordinal (ver a definição de ordinal segundo von Neumann em Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união). Isto porque é um número ordinal, e o sucessor de todo número ordinal também é um número ordinal (ver prova em Axioma da potência) - logo, por indução, todo número natural é um número ordinal.
Axiomas de Peano
editarO estudo de várias estruturas algébricas complexas parte, quase sempre, do estudo da estrutura mais elementar, que é o conjunto dos números naturais com sua relação de ordem e as operações binárias de soma e produto de números naturais.
Veremos aqui como é possível construir esta estrutura algébrica de forma axiomática.
Uma forma é partir do conjunto e definí-las.
Mas uma forma mais elegante é partir dos Axiomas de Peano.
Peano, em 1889, propôs nove axiomas que servem como fundamentos da aritmética - na verdade, estes axiomas são tão completos, que servem como fundamentos para quase toda a matemática. Destes axiomas, os quatro primeiros são sobre lógica, e os cinco últimos supõem a existência de um conjunto N satisfazendo:
Em palavras:
- N possui um elemento, que chamaremos de 0
- Todo elemento de N possui um sucessor em N; chamamos de s(n) ao sucessor de n
- Não existe um número cujo sucessor seja o 0
- Se os sucessores de dois números são iguais, então eles são iguais (equivalente: Se dois elementos de N são diferentes, então seus sucessores são diferentes)
- Se um subconjunto de N tem 0 como elemento, e este conjunto tem o sucessor de cada um dos seus elementos, então este conjunto é igual a N (princípio da indução)
Mostremos agora que , e é um modelo dos axiomas de Peano.
- - por construção
- - por construção
- - verdadeiro, pois s(n) é um conjunto que possui (pelo menos) um elemento - n - logo
- - deixaremos esta prova para o final
- o princípio da indução foi demonstrado acima
Então falta mostrar que se dois números tem o mesmo sucessor então eles são iguais. Mas isto segue do axioma da separação, porque se s(n) = s(m) temos que e e, dos quatro casos seguintes, apenas um deles não viola o axioma da separação:
que é o caso n = m.