Teoria dos conjuntos/O conjunto dos números naturais

O objetivo deste capítulo é mostrar que o conjunto dos números naturais existe, é único, e provar algumas de suas propriedades básicas.

Um capítulo anterior (Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união) definiu o que um conjunto deve satisfazer para ser chamado de um número natural.

O Axioma do infinito diz que existe um conjunto que inclui o conjunto vazio e, para cada elemento seu, inclui o seu sucessor (definido no capítulo Axioma da união). Assim, para cada conjunto que o axioma do infinito provém, podemos definir, pelo Axioma da extensão, um conjunto dos números naturais - o que prova a existência.

Nosso primeiro objetivo é mostrar que todo número natural é elemento de qualquer conjunto dos números naturais; com isto mostramos que este conjunto é único.

UnicidadeEditar

Devemos provar o seguinte:

Seja A um conjunto que satisfaz ao Axioma do infinito. Então todo número natural n é um elemento de A.

Como vimos antes, n é um número natural quando:

  1. n é o conjunto vazio ou n é um sucessor de algum seu elemento
  2. todo elemento de n é o conjunto vazio ou um sucessor de algum seu elemento

Nos capítulos anteriores, mostramos vários teoremas a respeito dos números naturais. Em particular, no capítulo sobre o Axioma da regularidade, mostramos que para todo número natural n e todo subconjunto K de n satisfazendo:

  1.  
  2.  

temos que K = n.

É óbvio como provaremos que todo número natural n é elemento de A: basta formar o subconjunto   e mostrar que  .

É imediato que:

  1. Como  , temos que  
  2. Como   e  , temos que  

O que completa a prova.

Assim, sendo A e B dois conjuntos que satisfazem ao Axioma do infinito, pelo Axioma da separação, podemos definir:

  •  
  •  

é imediato que  , ou seja, temos que o conjunto dos números naturais existe e é único, o que justifica a definição:

 

Princípio da indução finitaEditar

A unicidade de   permite imediatamente demonstrar vários fatos.

Por exemplo, seja K um subconjunto de   satisfazendo:

  •  
  •  

Então, obviamente, K é um conjunto que satisfaz ao Axioma do infinito, então  , completando a prova.

Esta propriedade costuma ser apresentada como um esquema de teoremas: seja P(x) uma propriedade escrita na linguagem formal da teoria dos conjuntos.

Então se:

  •  
  •  

então

  •  

A demonstração parte da construção do conjunto  , e aplicando-se o resultado anterior para provar que  .

Todo número natural é um número ordinalEditar

A indução finita torna muito simples várias propriedades dos números naturais.

Por exemplo, podemos provar que todo número natural é um número ordinal (ver a definição de ordinal segundo von Neumann em Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união). Isto porque   é um número ordinal, e o sucessor de todo número ordinal também é um número ordinal (ver prova em Axioma da potência) - logo, por indução, todo número natural é um número ordinal.

Axiomas de PeanoEditar

O estudo de várias estruturas algébricas complexas parte, quase sempre, do estudo da estrutura mais elementar, que é o conjunto dos números naturais com sua relação de ordem e as operações binárias de soma e produto de números naturais.

Veremos aqui como é possível construir esta estrutura algébrica de forma axiomática.

Uma forma é partir do conjunto   e definí-las.

Mas uma forma mais elegante é partir dos Axiomas de Peano.

Peano, em 1889, propôs nove axiomas que servem como fundamentos da aritmética - na verdade, estes axiomas são tão completos, que servem como fundamentos para quase toda a matemática. Destes axiomas, os quatro primeiros são sobre lógica, e os cinco últimos supõem a existência de um conjunto N satisfazendo:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Em palavras:

  1. N possui um elemento, que chamaremos de 0
  2. Todo elemento de N possui um sucessor em N; chamamos de s(n) ao sucessor de n
  3. Não existe um número cujo sucessor seja o 0
  4. Se os sucessores de dois números são iguais, então eles são iguais (equivalente: Se dois elementos de N são diferentes, então seus sucessores são diferentes)
  5. Se um subconjunto de N tem 0 como elemento, e este conjunto tem o sucessor de cada um dos seus elementos, então este conjunto é igual a N (princípio da indução)

Mostremos agora que  ,   e   é um modelo dos axiomas de Peano.

  1.   - por construção
  2.   - por construção
  3.   - verdadeiro, pois s(n) é um conjunto que possui (pelo menos) um elemento - n - logo  
  4.   - deixaremos esta prova para o final
  5. o princípio da indução foi demonstrado acima

Então falta mostrar que se dois números tem o mesmo sucessor então eles são iguais. Mas isto segue do axioma da separação, porque se s(n) = s(m) temos que   e   e, dos quatro casos seguintes, apenas um deles não viola o axioma da separação:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

que é o caso n = m.