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Créditos

Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.

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Esses nomes não estão na ordem de importância e sim na ordem com que foram aparecendo para ajudar.

Objetivo


O Objetivo PrincipalEditar

deste livro é que qualquer pessoa que tenha feito um bom curso de análise real e que esteja interessado em aprender mais sobre análise, fique satisfeito depois de uma longa leitura desses textos. É claro que, às vezes, uma única leitura é insuficiente, pois se trata de conceitos abstratos. Abaixo temos o que chamamos de requisitos básicos. Estes que temos que saber primeiro, para que entendamos tudo quanto está escrito no livro de análise no Rn.

Outros ObjetivosEditar

  • Quando o livro-texto já estiver quase pronto, colocar a disposição exercícios, e também suas resoluções.
  • Buscar ser o melhor livro na área, pois ele será auto-explicativo.
  • Evitar a trivialidade. Conforme os leitores forem tendo dúvidas, comunicarão pelas discussões para que possamos melhorar o texto para que ele se torne auto-explicativo.
  • Sempre que alguém ver alguma falha, erro, equívoco ou algo que falte do livro-texto sempre estará aberto a novas opiniões.

Espaços vetoriais


Espaço Vetorial  Editar

  • Definição:
O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a  , cujo  :
 
Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)
  • Os pontos  :
são todos os pontos a =  , onde  
  • Unicidade de pontos:
Dados a =   e b =  . Temos que  
Relembrando da análise real que  

Propriedades do Espaço Vetorial  Editar

  • Soma e produto no  
Dados  
 
 
  • Estas operações fazem de   um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo dos  .
O elemento neutro para adição é  
O simétrico de   é   assim  
  • Os elementos   serão chamados pontos ou vetores
  • Chamaremos aplicação linear ao invés de transformação linear.
  • A base canônica de   é formada pelos vetores:
 
  • Dado   temos que  

ExemplosEditar

  • Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto   das aplicações lineares   e o conjunto   das matrizes reais   com n linhas e m colunas.
    • A matriz   correspondente à aplicação linear A é definida pelas igualdades:
(*)  
    • Assim a matriz   da aplicação linear   tem como colunas os m vetores  , transformados por A dos vetores da base canônica de  
    • Reciprocamente dada uma matriz   com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear   nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor   tendo-se  
    • Cada matriz real   pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano  , basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto   das aplicações lineares de   em  ; ora pelo conjunto   das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional .
    •   são isomorfos.
  • Os funcionais lineares  são um tipo especial de aplicação linear.
    • Sejam   os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer  , temos  , logo  , ou seja,  
    • Note que   é a matriz   da aplicação linear  
  • Seja   o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, o vetor  :
onde se tem  . Então   i-ésima coordenada de  . Assim,   é a i-ésima projeção do produto cartesiano  . Os funcionais lineares   constituem uma base do espaço vetorial   chamada a base dual da base canônica de  
  • Uma aplicação   chama-se bilinear quando é linear separadamente em relação a cada uma das suas variáveis. Então é verdade que:
 
 
 
 
quaisquer que sejam  .
    • Se   é bilinear então, para   arbitrários vale:
 :
de modo que   fica inteiramente determinado pelos mn valores   que assume ns pares ordenados de vetores básicos . Note que   quaisquer que sejam  .

Produto InternoEditar

O produto interno é a função  .

  • simetria:  
  • bilinear
    • soma:  
    • produto:  
  • positivo:  

Lema 1 (Produto interno canônico)

 
tome  

NormaEditar

Dado   é a norma do vetor x (norma euclidiana)

  • De maneira geral,   é uma norma então
    •  
    •  
    •  

Desigualdade de Cauchy-SchwarzEditar

 

Ver tambémEditar

Bolas e conjuntos limitados


Bolas e conjuntos limitadosEditar

Na retaEditar

Quando temos a seguinte vizinhança em relação a um ponto a (números próximos o quanto se queira)

  • Seja   Que é o mesmo que dizer que temos um conjunto de elementos, cuja norma da diferença entre um elemento a e certos elementos x é menor que um certo delta.

No  Editar

Quando mudamos da reta pro  , a norma significa agora que temos uma bola, que engloba todos os elementos em qualquer direção, e nosso delta é o raio da bola. Então nossa vizinhança se chamará bola.

  •   quanto a ultima igualdade dizemos, a bola de centro a e raio r

ProjeçãoEditar

A i-ésima projeção de um vetor é a i-ésima coordenada do vetor

 

Ver tambémEditar

Sequências no espaço euclidiano


Sequências no espaço euclidianoEditar

Seja   uma sequência onde   é dito conjunto dos termos da sequência   .

  • Se  , ou seja, todos os termos da sequência pertencem ao  , então é dita sequência no espaço euclidiano.
  • Uma sequência   é limitada quando todos os seus termos o são, ou seja,  .
Logo se tomarmos normas de todos os termos da sequência, A é o maior deles.
  • Seja uma sequência no espaço euclidiano. Como seus termos   são vetores, então cada coordenada de cada termo  , ou seja, cada i-ésima coordenada de um termo da sequência faz parte de uma sequência. Se projetarmos a i-ésima coordenada do termo geral,  , estaremos obtendo n sequências  
  • Para uma sequência   ser limitada é necessário, e suficiente, que cada i-ésima coordenada o seja.
 

Ver tambémEditar

Caminhos e integrais de caminho


Caminhos diferenciáveisEditar

 
Um caminho entre A e B.

Um caminho em   é uma função contínua f de um intervalo fechado I (que pode ser infinito, mas deve ter tamanho maior que zero) em  . Algumas vezes, por abuso de notação, considera-se que o caminho é a imagem a função, ou f(I).

Quando o intervalo I possui ponto inicial a ou ponto final b, temos que o ponto inicial do caminho é f(a) e o ponto final é f(b). Um caminho de A até B, sendo A e B pontos do espaço, é um caminho com ponto inicial A e ponto final B.

Observe-se que um caminho não é somente um subconjunto de   que se parece com uma curva, pois também inclui uma parametrização. Por exemplo, os caminhos em R definidos pelas funções c e d de domínio [0, 1] dadas por c(t) = t e por d(t) = t2 são dois caminhos distintos que têm a mesma imagem: o intervalo [0,1].

Um caminho é diferenciável quando a função f for diferenciável.

Integral de um caminhoEditar

Veja tambémEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Caminho (topologia)

Derivadas parciais e direcionais


Derivadas ParciaisEditar

Dados   temos:

  • O acréscimo h ao vetor a resulta no vetor a+h.
    • Dizer que h é o acréscimo de a siginifica que (a+h) - (a) = h
  • A imagem de a é f(a) e a imagem de a+h é  
    • O acréscimo que h produz na imagem é o acréscimo  
  • O segmento de reta de um ponto p ao ponto q é dado por  
    • O segmento de reta de um ponto a na direção de um   é dado por  

I-ésima Derivada ParcialEditar

Seja o aberto ( ) tal que  . Dado o ponto   e  ,

a i-ésima derivada parcial de   no ponto a é o limite
 
  é a distância um ao outro, então temos  .
Aqui ficou implícito que  

função real de n variáveis por um caminhoEditar

Seja o aberto ( ) tal que  . Dado o ponto   e  

Derivadas direcionaisEditar

Bibliografia

BibliografiaEditar

Recursos iniciaisEditar

Tradutores automáticosEditar