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Índice

Créditos

Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.

Wikilivristas que cooperaram com o desenvolvimento e manutenção deste wikilivro:

• Thiago

Esses nomes não estão na ordem de importância e sim na ordem com que foram aparecendo para ajudar.

Objetivo

O Objetivo Principal

deste livro é que qualquer pessoa que tenha feito um bom curso de análise real e que esteja interessado em aprender mais sobre análise, fique satisfeito depois de uma longa leitura desses textos. É claro que, às vezes, uma única leitura é insuficiente, pois se trata de conceitos abstratos. Abaixo temos o que chamamos de requisitos básicos. Estes que temos que saber primeiro, para que entendamos tudo quanto está escrito no livro de análise no Rn.

• Cálculo (Volume 1)
• Cálculo (Volume 2)
• Cálculo (Volume 3)
• Análise real
• Álgebra linear

Outros Objetivos

• Quando o livro-texto já estiver quase pronto, colocar a disposição exercícios, e também suas resoluções.
• Buscar ser o melhor livro na área, pois ele será auto-explicativo.
• Evitar a trivialidade. Conforme os leitores forem tendo dúvidas, comunicarão pelas discussões para que possamos melhorar o texto para que ele se torne auto-explicativo.
• Sempre que alguém ver alguma falha, erro, equívoco ou algo que falte do livro-texto sempre estará aberto a novas opiniões.

Espaços vetoriais

Espaço Vetorial $\mathbb {R} ^{n}$

• Definição:

O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a $\mathbb {R}$, cujo $n\in \mathbb {N}$:

$\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots \times \mathbb {R}$

Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)

• Os pontos $a\in \mathbb {R} ^{n}$:

são todos os pontos a = $(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$, onde $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {R}$

• Unicidade de pontos:

Dados a = $(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$ e b = $(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})$. Temos que $a=b\Leftrightarrow a_{i}=b_{i},\forall i\in I_{n}$

Relembrando da análise real que $I_{n}=\{i\in \mathbb {N} ;1\leq i\leq n\}$

Propriedades do Espaço Vetorial $\mathbb {R} ^{n}$

• Soma e produto no $\mathbb {R} ^{n}$

Dados $a,b\in \mathbb {R} ^{n},\alpha \in \mathbb {R}$

$a+b=(a_{1}+b_{1},\cdots ,a_{n}+b_{n})$

$\alpha \cdot a=(\alpha a_{1},\cdots ,\alpha a_{n})$

• Estas operações fazem de $\mathbb {R} ^{n}$ um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo dos $\mathbb {R}$.

O elemento neutro para adição é ${\vec {0}}=(0,0,...,0)$

O simétrico de $a\;$ é $-a\;$ assim $-a=(-a_{1},-a_{2},\cdots ,-a_{n})$

• Os elementos $a\in \mathbb {R} ^{n}$ serão chamados pontos ou vetores
• Chamaremos aplicação linear ao invés de transformação linear.
• A base canônica de $\mathbb {R} ^{n}$ é formada pelos vetores:

$e_{1}=(1,0,0,0,\cdots ,0,0,0);e_{2}=(0,1,0,0,\cdots ,0,0,0);\cdots ;e_{n}=(0,0,0,0,\cdots ,0,0,1)$

• Dado $a\in \mathbb {R} ^{n}$ temos que $a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot e_{i}$

Exemplos

• Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto ${\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})$ das aplicações lineares $A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ e o conjunto $M(n\times m)$ das matrizes reais $(m_{ij})\;$ com n linhas e m colunas.
  • A matriz $(M_{ij})$ correspondente à aplicação linear A é definida pelas igualdades:

(*) $A\cdot e_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}e_{j};j\in I_{m}$

• • Assim a matriz $(a_{ij})$ da aplicação linear $A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ tem como colunas os m vetores $A\cdot e_{j}=(a_{1j},\cdots ,a_{nj})\in \mathbb {R} ^{n}$, transformados por A dos vetores da base canônica de $\mathbb {R} ^{n}$
  • Reciprocamente dada uma matriz $(a_{ij})$ com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear $A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor $a\in \mathbb {R} ^{m}$ tendo-se $A\cdot x=\sum _{j=1}^{m}xj\cdot Ae_{j}$
  • Cada matriz real $n\times m$ pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano $\mathbb {R} ^{nm}$, basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto ${\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})$ das aplicações lineares de $\mathbb {R} ^{m}$ em $\mathbb {R} ^{n}$; ora pelo conjunto $M(n\times m)$ das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional$\mathbb {R} ^{nm}$.
  • $M(nxm)\approx {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})\approx \mathbb {R} ^{nm}$ são isomorfos.
• Os funcionais lineares $f:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$são um tipo especial de aplicação linear.
  • Sejam $y_{j}=f(e_{j});j\in I_{m}$ os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer $a\in \mathbb {R} ^{m}$, temos $a=\sum _{i=1}^{m}a_{i}e_{i}$, logo $f(a)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}f(e_{i})$, ou seja, $f(a)=\sum _{i=1}^{m}y_{i}a_{i}$
  • Note que $(y_{1},\cdots ,y_{n})$ é a matriz $1\times m$ da aplicação linear $f$
• Seja $\pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ;i\in I_{m}$ o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, o vetor $e_{i}$:

onde se tem $\pi _{i}(e_{i})=1$. Então $\pi _{i}(a)=a_{i}=$ i-ésima coordenada de $a\in \mathbb {R} ^{m}$. Assim, $\pi _{i}$ é a i-ésima projeção do produto cartesiano $\mathbb {R} ^{m}{\mbox{ em }}\mathbb {R}$. Os funcionais lineares $\pi _{i};i\in I_{m}$ constituem uma base do espaço vetorial ${\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})=(\mathbb {R} )^{*}$ chamada a base dual da base canônica de $\mathbb {R} ^{m}$

• Uma aplicação $\varphi :\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}$ chama-se bilinear quando é linear separadamente em relação a cada uma das suas variáveis. Então é verdade que:

$\varphi (a+a',b)=\varphi (a,b)+\varphi (a',b)$

$\varphi (a,b+b')=\varphi (a,b)+\varphi (a,b')$

$\varphi (\alpha a,b)=\alpha \cdot \varphi (a,b)$

$\varphi (a,\alpha b)=\alpha \cdot \varphi (a,b)$

quaisquer que sejam $a,a'\in \mathbb {R} ^{m};b,b'\in \mathbb {R} ^{n}e\alpha \in \mathbb {R}$.

• • Se $\varphi$ é bilinear então, para $a\in \mathbb {R} ^{m}{\mbox{ e }}b\in \mathbb {R} ^{n}$ arbitrários vale:

$\varphi (a,b)=\varphi (\sum a_{i}e_{i},\sum b_{j}e_{j})=\sum a_{i}b_{i}\varphi (e_{i},e_{j})$:

de modo que $\varphi$ fica inteiramente determinado pelos mn valores $\varphi (e_{i},e_{j})\in \mathbb {R} ^{p}$ que assume ns pares ordenados de vetores básicos$(e_{i},e_{j})$. Note que $\varphi (a,0)=\varphi (0,b)=0$ quaisquer que sejam $a\in \mathbb {R} ^{m}{\mbox{ e }}b\in \mathbb {R} ^{n}$.

Produto Interno

O produto interno é a função $<,>:(E\times E\rightarrow \mathbb {R} )$.

• simetria: $<a,b>\;=\;<b,a>,\forall a,b\in E$
• bilinear
  • soma: $<a+a',b>\;=\;<a,b>+<a',b>,\forall a,a',b\in E$
  • produto: $<\alpha a,b>\;=\;\alpha <b,a>,\forall a,b\in E\alpha \in \mathbb {R}$
• positivo: $<a,a>\;>0,{\mbox{ com }}a\neq 0$

Lema 1 (Produto interno canônico)

$Seja\;f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ,f(x,y)=<x,y>$

tome $a,b\in \mathbb {R} ^{n},<a,b>\;=\;a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}\;=\;\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

Norma

Dado $x\in \mathbb {R} ,<x,x>\;=\;|x|^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$ é a norma do vetor x (norma euclidiana)

• De maneira geral, $n:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$ é uma norma então
  • $n(a+b)\leq n(a)+n(b)$
  • $n(\alpha a)\;=\;\alpha n(a)$
  • $n(a)\geq 0\;e\;n(a)=0<=>a=0$

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

$|<a,b>|\leq |a||b|,\forall a,b\in \mathbb {R} ^{n}$

Bolas e conjuntos limitados

Bolas e conjuntos limitados

Na reta

Quando temos a seguinte vizinhança em relação a um ponto a (números próximos o quanto se queira)

• Seja $V_{\delta }=\{x\in \mathbb {R} ,x\in (a-\delta ,a+\delta )\}=\{x\in \mathbb {R} ,0<|x-a|<\delta )\}:$ Que é o mesmo que dizer que temos um conjunto de elementos, cuja norma da diferença entre um elemento a e certos elementos x é menor que um certo delta.

No $\mathbb {R} ^{n}$

Quando mudamos da reta pro $\mathbb {R} ^{n}$, a norma significa agora que temos uma bola, que engloba todos os elementos em qualquer direção, e nosso delta é o raio da bola. Então nossa vizinhança se chamará bola.

• $Seja\;B_{r}=\{x\in \mathbb {R} ,0<|x-a|<r)\}=B(a,r):$ quanto a ultima igualdade dizemos, a bola de centro a e raio r

Projeção

A i-ésima projeção de um vetor é a i-ésima coordenada do vetor

$a\in \mathbb {R} ^{n},a=(a_{1},a_{2},...,a_{n});\pi _{i}(a)=a_{i}$

Sequências no espaço euclidiano

Sequências no espaço euclidiano

Seja $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência onde $\{x_{1},x_{2},...,x_{i},...\}$ é dito conjunto dos termos da sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ .

• Se $x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$, ou seja, todos os termos da sequência pertencem ao $\mathbb {R} ^{n}$, então é dita sequência no espaço euclidiano.
• Uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é limitada quando todos os seus termos o são, ou seja, $|x_{k}|\leq A,\forall k\in \mathbb {N} ,aqui\;A=sup|x_{k}|$.

Logo se tomarmos normas de todos os termos da sequência, A é o maior deles.

• Seja uma sequência no espaço euclidiano. Como seus termos $x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ são vetores, então cada coordenada de cada termo $x_{k}=(x_{k1},x_{k2},...,x_{ki},...)$, ou seja, cada i-ésima coordenada de um termo da sequência faz parte de uma sequência. Se projetarmos a i-ésima coordenada do termo geral, $\pi _{i}(x_{k})=x_{ki}$, estaremos obtendo n sequências $\pi _{i}(x_{k}):\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R}$
• Para uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ser limitada é necessário, e suficiente, que cada i-ésima coordenada o seja.

$|x_{k}|\leq A\Rightarrow |x_{ki}|\leq A_{i},assim\;A_{i}=sup|x_{ki}|$

Caminhos e integrais de caminho

Caminhos diferenciáveis

Um caminho entre A e B.

Um caminho em $\mathbb {R} ^{n}\,$ é uma função contínua f de um intervalo fechado I (que pode ser infinito, mas deve ter tamanho maior que zero) em $\mathbb {R} ^{n}\,$. Algumas vezes, por abuso de notação, considera-se que o caminho é a imagem a função, ou f(I).

Quando o intervalo I possui ponto inicial a ou ponto final b, temos que o ponto inicial do caminho é f(a) e o ponto final é f(b). Um caminho de A até B, sendo A e B pontos do espaço, é um caminho com ponto inicial A e ponto final B.

Observe-se que um caminho não é somente um subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}\,$ que se parece com uma curva, pois também inclui uma parametrização. Por exemplo, os caminhos em R definidos pelas funções c e d de domínio [0, 1] dadas por c(t) = t e por d(t) = t² são dois caminhos distintos que têm a mesma imagem: o intervalo [0,1].

Um caminho é diferenciável quando a função f for diferenciável.

Derivadas parciais e direcionais

Derivadas Parciais

Dados $a,h\in U\subset \mathbb {R} ^{n}$ temos:

• O acréscimo h ao vetor a resulta no vetor a+h.
  • Dizer que h é o acréscimo de a siginifica que (a+h) - (a) = h
• A imagem de a é f(a) e a imagem de a+h é $''\phi (a+h)''$
  • O acréscimo que h produz na imagem é o acréscimo $''\phi (a+h)-f(a)''$
• O segmento de reta de um ponto p ao ponto q é dado por $\lambda (t)=p+tq;t\in (0,1)$
  • O segmento de reta de um ponto a na direção de um $e_{i}$ é dado por $\lambda (t)=a+te_{i};t\in (0,1)$

I-ésima Derivada Parcial

Seja o aberto ($U\subset \mathbb {R} ^{n}$) tal que $\phi :U\mapsto \mathbb {R} ^{n}$. Dado o ponto $a\in U$ e $i\in I_{n}$,

a i-ésima derivada parcial de $\phi$ no ponto a é o limite

${\partial \phi \over \partial x_{i}}(a)=\left(\lim _{t\to 0}{\phi (a+te_{i})-\phi (a) \over (a+te_{i})-(a)}=\right)\lim _{t\to 0}{\phi (a+te_{i})-\phi (a) \over t}$

$(a+te_{i})-(a)$ é a distância um ao outro, então temos $|a+te_{i}|-|a|\leq |a|+|te_{i}|-|a|=|a|-|a|+|t||e_{i}|{\mbox{ como }}|e_{i}|=1{\mbox{ logo }}|t|=t$.

Aqui ficou implícito que $|t|=t{\mbox{ pois }}t\in (0,1)$

função real de n variáveis por um caminho

Seja o aberto ($U\subset \mathbb {R} ^{n}$) tal que $\phi :U\mapsto \mathbb {R} ^{n}$. Dado o ponto $a\in U$ e $i\in I_{n}$

Bibliografia

Bibliografia

• Livro-textos
  • Lima, Elon Lages. Curso de Análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2006. v. 2.
  • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. New York: McGraw-Hill Inc., 1976. v. 1.
  • Hönig, Chaim Samuel. Aplicações da Topologia à Análise. Brasil: IMPA, 1976.
  • Spivak, Michael. Cálculo on Manifolds. United States of America: Addison-Wesley Publishing Company, 1965.
• Livro-virtuais
  • Real analysis: Wikilivro em inglês sobre Análise real e sua Bibliografia;
  • Real analysis: Conceitos de Análise real na Wikipédia em inglês;
  • Análise Real: Conceitos de Análise real na Wikipédia em português;
  • Topology: Wikilivro em inglês sobre Topologia;
  • Topologia: Wikilivro em português sobre Topologia;
  • Análise I - Notas de aula de um curso de análise ministrado na Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. Pode ser útil em algum momento.
  • Análise II - Notas de aula de um curso de análise ministrado no Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. Pode ser útil em algum momento.
  • Análise III - Notas de aula de um curso de análise ministrado na Universidad Nacional Autônoma de México. Pode ser útil em algum momento.

Recursos iniciais

• Ajuda:Página principal: Tutorial principal do Wikipédia;
  • Fórmulas TeX: Página da Wikipédia sobre fórmulas matemáticas;
  • Ajuda:Marcação TeX: Página do Wikilivros sobre fórmulas matemáticas;
  • Help:Displaying a formula: Página do Meta sobre fórmulas matemáticas;
• Ajuda:Como iniciar uma página: Tutorial do wikilivros;

Tradutores automáticos

• Tradução do Google (também disponível aqui)
• Windows Live Translator Beta
• Dicionário Michaelis - 6 Idiomas