Cálculo (Volume 1)/Imprimir

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Cálculo (Volume 1) Para as disciplinas Cálculo I e II

Créditos

Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.

Dentre os editores que participaram da criação deste livro, damos crédito pelas seguintes competências:

Ajustes de formatação

• João Jerónimo
• Marcos Antônio Nunes de Moura

Categorização

• Jorge Morais
• LeonardoG
• Marcos Antônio Nunes de Moura

Conteúdo

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• Marcos Antônio Nunes de Moura
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Correções

• Edudobay
• Fredmaranhao
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• Lou cai
• Marcos Antônio Nunes de Moura
• Thiago Marcel

Proteção do conteúdo

• Dante
• SallesNeto BR

Prefácio

Prefácio

Todos aprendemos, até este ponto, a matemática elementar, com ela podemos lidar com inúmeras de nossas necessidades mais corriqueiras do dia a dia. A partir de agora, teremos a oportunidade de dispor de recursos mais sofisticados.

O Cálculo, em conjunto com outras disciplinas, faz parte do aprendizado da matemática de nível superior. Ele é uma valorosa ferramenta de análise, muito utilizada em ciências exatas. Esta ferramenta recebeu o nome cálculo, como forma abreviada da expressão "Cálculo Infinitesimal" ou "Cálculo Diferencial e Integral". Este livro explora a parte inicial do estudo de cálculo básico, presente nos cursos de nível superior mais voltados às ciências exatas e suas ramificações. Por ter um caráter introdutório, permite ao estudante fazer gradativamente uma transição do pensamento de nível médio para nível universitário. Com ele iremos navegar pelas análises algébricas, numéricas e geométricas, lidando com valores tão pequenos que podem ser considerados relativamente ínfimos. Ao mesmo tempo, iniciaremos as análises de quantidades, desses elementos infinitesimais, tão numerosas que poderíamos chamá-las de populações gigantescas.

Este livro utiliza as notações e as siglas mais encontradas nos livros didáticos de Cálculo no Brasil, algumas notações comuns em livros "on-line" seguem o padrão norte-americano e por isso estão fora dos objetivos desta publicação, que foi idealizada para ser instrumento de aprendizado para nativos da língua portuguesa, alguns exemplos de notações são encontradas principalmente nas funções trigonométricas, como o seno que simbolizamos $sen()\,\!$ enquanto que em outros livros verificamos $sin()\,\!$, ou tangente que notamos $tg()\,\!$ enquanto que em outros vemos $tan()\,\!$.

Dividimos o estudo de Cálculo em 3 (três) livros, que não são necessariamente indicados especificamente para as subdivisões do estudo feito nas universidades, embora tenhamos alguns cursos onde há uma divisão da disciplina em até 6 (seis) módulos. Para aproximar a seqüência dos tópicos à dos cursos mais conceituados, fizemos uma pesquisa e adequamos os índices ao cronograma destes cursos, para isso pesquisamos universidades públicas e privadas no Brasil, obviamente, seria impossível adequar a seqüência dos tópicos para todos os cursos que se utilizam deste estudo, acredito que está próxima da média de adequação.

Para sequenciar os capítulos e indicar a sua aplicação foi incluída uma tarja cinza no topo de cada página dos livros desta série, que tem o objetivo de orientar a que nível de dificuldade se destina o conteúdo, o cronograma adotado é o mais completo, portanto, algumas partes dos livros podem ser retiradas do currículo do curso, conforme a instrução do tutor ou mestre que o formulou.

Espero que todos nós, autores e leitores, tenhamos um bom aproveitamento advindo do desenvolvimento ou do estudo do conteúdo deste e dos outros livros sobre este tema.

Lista de símbolos

A seguir será apresentada uma relação dos símbolos utilizados neste wikilivro de cálculo, juntamente com os links para os módulos que abordam o seu uso. Utilize este módulo sempre que precisar fazer uma consulta rápida.

• $[a,b];\ (a,b);\ ]a,b[;\ [a,b);\ (a,b];\ [a,b[;\ ]a,b]\,\!$
• $(x,y)\,\!$
• $y=f(x)\,\!$
• $(f+g)(x);\ (f-g)(x);\ (f\cdot g)(x);\ (f:g)(x)\,\!$
• $\lim _{x\to a}f(x)\,\!$
• $\lim _{x\to a^{+}}f(x)$; $\lim _{x\to a^{-}}f(x)$
• $\lim _{x\to +\infty }f(x)$

Índice remissivo

A

• Assíntota

C

• Comprimento de arco
• Concavidade, 1
• Continuidade, 1, 2
• Coordenadas polares
• Crescimento, 1

D

• Derivada

aplicações, 1

de funções implicitas

• Diferencial
• Domínio

F

• Função

bijetiva

contínua

implícita

injetiva

inversa

sobrejetiva

I

• Infinitesimal
• Infinito
• Integração

funções racionais

funções trigonométricas

imediata

por

mudança de variáveis

partes

substituição trigonométrica

• Integral

aplicações

áreas

médias

imprópria

indefinida

de Riemann

• Intervalos

abertos e fechados

de crescimento e decrescimento

L

• Limite

de funções

lateral

infinito

M

• Máximos e mínimos

P

• Primitiva
• Ponto

crítico

de inflexão

de máximo

de mínimo

R

• Regra de L'Hopital
• Reta

tangente

S

• Somas de Riemann

T

• Tangente a uma curva
• Taylor

polinômio

resto

• Teorema

da

função implícita

funçõ inversa

de

Bolzano-Weierstrass

Rolle, 1

Taylor

do

valor médio para derivadas, 1

valor intermediário

fundamental do cálculo

V

• Valor

absoluto

médio

• Velocidade

Conceitos básicos (funções)

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Conceitos básicos

Definições iniciais:

Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: Funções, no livro: Matemática elementar, pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro.

Função, domínio e imagem

Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em $\mathbb {R} \Rightarrow \{-\infty ,\dots ,x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,+\infty \}\,\!$, então tomamos $x\,\!$ e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em $\mathbb {R} \,\!$ e portanto dizemos que:

A é o domínio da variável $x\,\!$.

Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas $f\,\!$, quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a $f\,\!$, dizemos que:

B é função de A.

Sendo B obtido através das regras de $f\,\!$ :

A é domínio da função $f\,\!$.

Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às regras definidas por $f\,\!$, os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que:

B é imagem da função $f\,\!$.

Extensões de domínios

Observemos a expressão: ${\sqrt {12-x}}$ Note que assim que atribuirmos valores a $x$ , a mesma assumirá valores inválidos, valores de raízes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de $x$ , então teremos:

${\sqrt {12-x}},x\leq 12$

Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado.

Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: $\log {x}$ , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:

$\log {x},x>0\,\!$

Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuídos à variável, chamamos este de extremo aberto.

Notações

O conjunto de números B $\{-\infty ,\dots ,y_{1},y_{2},y_{3},\dots ,+\infty \}\,\!$ dos quais $y_{n}\,\!$ dependem do conjunto A $\{-\infty ,\dots ,x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,\infty \}\,\!$ de onde temos $x_{n}\,\!$, estabelecemos o par de números $\{x_{n},y_{n}\}\,\!$, ou simplesmente:

$(x,y)\,\!$ 

Este é chamado de par ordenado.

Sendo também $f\,\!$ a representação dos valores de $(x,y)\,\!$, então podemos dizer que:

$y=f(x)\,\!$

Sendo $f(x)\,\!$ o valor de $y\,\!$ quando definido pelas operações em $f\,\!$.

Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:

$-2<x<4;-12\leq x<8\,\!$

Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma:

$(-2,4);[-12,8)\,\!$

Também é comum usar colchetes invertidos para extremos abertos:

$]-2,4[;[-12,8[\,\!$

Operações com funções

Consideremos duas funções f e g; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,\!$
$(f-g)(x)=f(x)-g(x)\,\!$
$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\,\!$
$(f:g)(x)=f(x):g(x)\,\!$

Sendo D(f) o domínio da função f e D(g) o domínio da função g, o domínio da função resultante das operações acima é sempre:

$D(f)\cap D(g)\,\!$

Limites e Continuidade

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Limites

Breve explanação

Vejamos o gráfico a seguir:

Figura 1

O gráfico representa a função $f:\!\mathbb {R} \ \!\smallsetminus \!\{6\}\to \mathbb {R} \$ definida pela regra:

$y=f(x)\ =\ {\frac {(x\ -\ 4)(x\ -\ 6)}{2(x\ -\ 6)}}$

Esta função não está definida para $x\ =\ 6$, pois não faz sentido escrever $y\ =\ {\frac {0}{0}}$. No entanto, podemos calcular $f(x)$ para valores de $x$ muito próximos de 6. Observe a tabela:

$x$	5,5	5,8	5,99	6	6,05	6,2	6,5
$y=f(x)$	0,75	0,9	0,995	$\not \exists$	1,025	1,1	1,25

Se fizermos $x\ =\ 5,5$ temos $y\ =\ 0,75$; se agora fizermos $x\ =\ 5,8$ teremos $y\ =\ 0,9$; depois fazendo $x\ =\ 5,99$ teremos $y\ =\ 0,995$; portanto quando nós aproximamos $x$ de 6, vemos que também aproximamos $y$ de 1. Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6: se tivermos $x\ =\ 6,5$ teremos $y\ =\ 1,25$; e para $x\ =\ 6,2$ teremos $y\ =\ 1,1$; finalmente, se $x\ =\ 6,05$ teremos $y\ =\ 1,025$ e vemos que o mesmo acontece.

O que isto quer dizer?

Acontece que, quando aproximamos $x$ de 6, $y$ se aproxima de 1, o que indica uma tendência de se igualar a 1. Perceba que quando $x$ se aproxima de 6, de forma a alcançar o limite entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente faz com que $y$ também alcance um número ainda mais próximo de 1. Então dizemos que: se $f(x)=y$ então, o limite de $f(x)$ quando $x$ tende a 6 é igual a 1.

Como veremos mais adiante, isto é representado pela seguinte notação:

$\lim _{x\to 6}f(x)\ =\ 1$

Como pode ver, acabamos de caracterizar o conceito de limite a partir da noção intuitiva de aproximar um número de outro.

Mas como podemos dizer "se aproximar" em termos matemáticos?

Se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas, a distância entre elas diminui, fica fácil perceber que será necessário medir a distância entre os números. Sendo assim, vale a pena recordar que a distância entre dois números reais é dada pela fórmula $d(a,b)=|a-b|$. Assim, usando essa fórmula podemos dizer que, por exemplo:

• Se $\delta$ é um número pequeno e $|x-a|<\delta$ então $x$ está próximo de $a$ ;
• Se diminuimos gradativamente o valor de $\epsilon$, e ao mesmo tempo escolhemos $y$ satisfazendo $|y-L|<\epsilon$, podemos dizer que estamos aproximando $y$ de L;

Com isso em mente, vamos retomar o nosso exemplo. A dependência entre a variação de $x$ e a variação dos valores assumidos pela função $f(x)$ pode agora ser expressa de uma forma bem simples. Como é mostrado na tabela, é possível fazer $f(x)$ ficar extremamente próximo de 1, bastando escolher valores de $x$ suficientemente próximos de 6. Assim, se queremos fazer $d(f(x),1)$ ficar menor que $\epsilon$, é suficiente encontrar um valor de $\delta$ pequeno o bastante e fazer escolhas de $x$ que satisfaçam $d(x,6)=|x-6|<\delta$, ou seja, basta escolher $x$ próximo de 6.

Analisando as condições

Sugestão de aprimoramento: Remover esta seção "Analisando as condições", conforme este tópico da discussão

Seja a função $f(x)$, onde $x\ \in \ \mathbb {R}$. Façamos isto apenas para restringir o escopo da análise a funções mais simples e assim, que isto permita-nos colocar as condições dentro de parâmetros mais fáceis de analisar.

Sendo $f(x)$, definido ou não em um determinado ponto do domínio, verificamos a existência de valores que tendem a se aproximar de um valor $L$, próximo aos valores trivialmente encontrados para a função em pontos próximos e com valores conhecidos. Então, arbitramos um número $\epsilon$, delimitando uma região em $f(x)$ de forma que as condições sejam suficientes para garantir que:

$\left|f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon$

Ao tomarmos um subintervalo em $f(x)$ com extensão $\epsilon$, o efeito esperado é que tenhamos delimitado um valor $\delta$ correspondente para $x$. Consideramos que temos um número $a$, neste intervalo, para todo $\delta$ que obtemos quando arbitramos um $\epsilon$ na função. Da mesma forma que temos um esperado valor em $f(x)$ devemos ter um número $x$ no domínio, tal que:

$0\ <\ \left|x\ -\ a\right|\ <\ \delta$

Devemos ter o cuidado de observar que a afirmativa acima exige que o valor da diferença não seja nulo, caso contrário a relação de correspondência dos valores na função e no domínio não existiria.

Caso as condições acima sejam satisfeitas e a relação entre os valores seja possível, dizemos que $L$ é o limite de $f(x)$ quando $\left(x\right)$ tende a $\left(a\right)$.

Definição

Adotamos a notação

$\lim _{x\to a}f(x)\ =\ L$

para dizer que a função possui a seguinte propriedade:

$\forall \epsilon >0,\quad \exists \delta >0\quad |\quad \forall x\in D_{f},\quad 0\ <\ \left|x\ -\ a\right|\ <\ \delta \qquad \Rightarrow \qquad \left|f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon$

De agora em diante, para indicar que uma função tem esta propriedade, usaremos indiferentemente qualquer das seguintes alternativas:

• $L$ é o limite de $f(x)$, quando $x$ tende para $a$, ou que
• $f(x)$ tende $L$ quando $x$ tende para $a$

ou com símbolos:

• $f(x)\to L$ quando $x\to a$
• $\lim _{x\to a}f(x)\ =\ L$

Observação

Para aqueles que também se interessam por lógica e fundamentos da matemática, podemos reescrever a definição anterior usando as notações do cálculo quantificacional clássico. Assim, dado $a\ \in \ \mathbb {R}$, diremos que $\exists \lim _{x\to a}f(x)$, quando:

$\exists L\ \forall \epsilon \ (\epsilon >0\ \rightarrow \ \exists \delta \ (\ \delta >0\ \land \ \forall x\ (\ x\in D_{f}\ \land \ 0<|x-a|\ \land \ |x-a|<\delta \ \rightarrow \ \left|f(x)-L\right|<\epsilon )))$

Interpretação intuitiva da definição

Uma forma de compreender, de forma intuitiva, esta definição, é ver o limite como um jogo. Neste jogo, exite um proponente e um desafiante. O proponente declara que

$\lim _{x\to a}f(x)\ =\ L$

Então cabe, ao desafiante, propor um número $\epsilon >0\,$. Sempre que o desafiante propuser algum $\epsilon \,$, o proponente deve exibir um $\delta >0\,$ e provar que, sempre que $x\in D_{f},\quad 0\ <\ \left|x\ -\ a\right|\ <\ \delta \,$, necessariamente temos que $\left|f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon$

Como exemplo, digamos que a função seja f(x) = x + 1, e o proponente declara que

$\lim _{x\to 0}f(x)\ =\ 2$

(uma proposição claramente absurda). Então, caso o desafiante proponha $\epsilon =10\,$, basta ao proponente escolher $\delta ={\frac {1}{2}}\,$, porque para valores de x entre -1/2 e 1/2, temos que f(x) está entre 1/2 e 3/2, ou seja, a distância de f(x) para 2 é menor que 10. Só que isto não é o bastante, o proponente deve responder ao desafio para todo $\epsilon \,$, então caso o desafiante proponha $\epsilon ={\frac {1}{10}}\,$, o proponente não será capaz de encontrar um $\delta \,$ com a propriedade desejada.

Propriedades

Uma vez motivada a definição do conceito de limite, e apresentada sua caracterização formalmente, é muito útil garantir que os limites satisfazem certas propriedades operatórias, no sentido de que pode-se fazer operações com as expressões que representam limites. As principais propriedades válidas para limites são apresentadas nos teoremas T1 até T6.

Resumidamente, T1 garante que o limite de uma função em um ponto (ou no infinito) é único. Isso significa que quando duas pessoas se propõe a calcular um limite (que exista), elas chegarão obrigatoriamente a um mesmo resultado. Isso justifica por exemplo o uso da expressão o limite de f(x) no ponto a em vez de um limite de f(x) no ponto a.

O teorema T2 estabelece a somatividade dos limites: para somar dois limites que existem, podemos somar as duas funções e calcular apenas o limite desta soma. Uma propriedade análoga vale para a diferença entre limites.

Os teoremas seguintes (de T3 até T6) exploram o mesmo tipo de propriedade para as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de limites. Observe que tradicionalmente estas operações são definidas para números reais. No entanto, talvez por causa de sua simplicidade, podem ser facilmente estendidas para operações entre funções.

Considere, por exemplo, o caso da potenciação. O teorema T5, mostra que para se calcular o limite da (função) n-ésima potência de f(x) que tem limite no ponto a, é suficiente calcular a n-ésima potência do (número dado pelo) limite de f(x) no ponto a.

T1 - (Unicidade)

Unicidade
Seja uma função real $f(x)$ se o limite da mesma em um ponto existe, então ele é único. Em outras palavras:
Se $\lim _{x\to a}f(x)=L_{1}$ e $\lim _{x\to a}f(x)=L_{2}$ então $L_{1}\ =\ L_{2}$

Demonstração:

Proponhamos que $\lim _{x\to a}f(x)=L_{1}$ e $\lim _{x\to a}f(x)=L_{2}$, mas $L_{1}\ \neq \ L_{2}$.

Logo, pela definição de limite, teremos que admitir que para cada $\epsilon >0$, existe ${\delta }_{1}$ tal que:

$|f(x)\ -\ L_{1}|\ <\ \epsilon$ para todo $x$ que satisfaz $0<|x\ -\ a|<\ {\delta }_{1}$

Além disso, existe ${\delta }_{2}$ para o qual vale

$|f(x)\ -\ L_{2}|\ <\ \epsilon$ sempre que $x$ verifica a desigualdade $0<|x\ -\ a|<\ {\delta }_{2}$

Como $L_{1}$ e $L_{2}$ não são iguais, a diferença $L_{1}\ -\ L_{2}$ é não nula.

Da desigualdade triangular:

$|L_{1}\ -\ L_{2}|\ =\ |(\ L_{1}-f(x))\ +\ (f(x)-L_{2})|\leq \ |f(x)\ -\ L_{1}|\ +\ |f(x)\ -\ L_{2}|$

Se tivermos um $\delta <min({\delta _{1}},{\delta _{2}})$ e $0<|x\ -\ a|<\ \delta$, serão válidas as condições:

$|f(x)\ -\ L_{1}|\ <\ \epsilon$

$|f(x)\ -\ L_{2}|\ <\ \epsilon$

Teremos em consequência que:

$|L_{1}\ -\ L_{2}|\ <\ 2\epsilon$ para todo $x$ para o qual $0<|x\ -\ a|<\ \delta$.

Como podemos arbitrar $\epsilon$, teremos, ao fazer $\epsilon \ =\ {\frac {|L_{1}\ -\ L_{2}|}{2}}$, que:

$|L_{1}\ -\ L_{2}|\ <\ |L_{1}\ -\ L_{2}|$

Mas isto é contraditório, portanto $L_{1}\ =\ L_{2}$.

T2 - (Soma e diferença)

Limites da soma e da diferença
Sejam duas funções $f(x)$ e $g(x)$, cujo limite em um ponto $a$ exista. O limite da soma (ou da diferença) das funções no ponto $a$ existe e é:
$\lim _{x\to a}\left(f(x)\ \pm \ g(x)\right)\ =\ \lim _{x\to a}f(x)\ \pm \lim _{x\to a}g(x)$

Demonstração:

Faremos a demonstração apenas para o caso da soma de funções, deixando a cargo do leitor verificar que a propriedade análoga para a diferença de funções pode ser provada de forma parecida.

Tomando $\lim _{x\to a}f(x)=A$ e $\lim _{x\to a}g(x)=B$, devemos, pela definição, provar que:

Dado qualquer $\epsilon$ positivo, existe algum $\delta$ positivo, para o qual $|(f(x)+g(x))\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon$ sempre que $x\in D_{f}$ satisfaz $0\ <\ |x-a|\ <\ \delta$

Posto que existem os limites de $f(x)$ e $g(x)$ em $a$, já sabemos que para quaisquer $k$ e $p$ positivos, existem $\delta _{1}$ e $\delta _{2}$ positivos satisfazendo:

• $|f(x)-A|\ <\ k$, $\forall x\in D_{f}$ tal que $0\ <\ |x-a|\ <\ \delta _{1}$

• $|g(x)-B|\ <\ p$, $\forall x\in D_{f}$ tal que $0\ <\ |x-a|\ <\ \delta _{2}$

e pela desigualdade triangular:

$|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ \leq \ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\$

Então, ao arbitrar $\epsilon \ =\ p+k\ >\ 0$, existe $\delta \ =\ min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$, de modo que se $0\ <\ |x-a|\ <\ \delta$ vale:

$|f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ <\ k+p\ =\ \epsilon$, ou seja,

$|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon$

Observação

Ao provar a propriedade para a diferença de funções, a principal mudança é no passo onde é utilizada a desigualdade triangular. Em tal caso, deveriamos observar que:

$|f(x)-g(x)\ -\ (A-B)|\ =\ |f(x)-A\ +\ (-g(x)+B)|\ \leq \ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\$

T3 - (Produto)

Limite do produto de duas funções
Se existem os limites das funções $f(x)$ e $g(x)$ em um ponto $a$, então o limite do produto das funções neste ponto existe, e é dado por:
$\lim _{x\to a}\left(f(x)\ \cdot \ g(x)\right)\ =\ \lim _{x\to a}f(x)\ \cdot \lim _{x\to a}g(x)$

Demonstração:

Consideremos que $\lim _{x\to a}f(x)=L$ e que $\lim _{x\to a}g(x)=M$.

Queremos verificar se para cada $\epsilon$ positivo, existe algum $\delta$ positivo, tal que

$\left|f(x)\cdot g(x)\ -\ L\cdot M\right|\ <\ \epsilon$, para todo $x\in D_{f}\cap D_{g}$ que verifica $0<\left|x\ -\ a\right|<\delta$

Considerando que existem os limites $\lim _{x\to a}f(x)$ e $\lim _{x\to a}g(x)$, é possível encontrar certo $\delta _{1}\ >\ 0$, para o qual

• $|f(x)-L|\ <\ 1$⁽¹⁾ sempre que $x\in D_{f}$ e $0<|x-a|\ <\ \delta _{1}$.

do que podemos concluir que, para estes valores de $x$, vale $|f(x)|\ <\ |L|+1$.

Mas para qualquer $\epsilon \ =\ p+k$, com $p>0$ e $k>0$, também existem valores positivos $\delta _{2}$ e $\delta _{3}$, de modo que

• $|g(x)-M|\ <\ {\frac {p}{|L|+1}}$⁽²⁾, quando $x\in D_{f}$ e $0<|x-a|<\ \delta _{2}$ e

• $|f(x)-L|\ <\ {\frac {k}{|M|+1}}$⁽³⁾, se $x\in D_{f}$ e $0<|x-a|<\ \delta _{3}$.

Então, se $\delta \ <\ \{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$, e $0<|x-a|<\ \delta$, valem as desigualdades (1), (2) e (3).

Vamos então trabalhar com a expressão $|f(x)\cdot g(x)\ -\ L\cdot M|$ para concluir que ela é fica menor que $\epsilon$ para estes valores de $x$ . Primeiramente, observe que $|f(x)\cdot g(x)\ -\ L\cdot M|\ =|f(x)\cdot (g(x)-M)\ +\ M\cdot (f(x)-L)|$

Usando a desigualdade triangular nesta última expressão, e observando que $|M|<|M|+1$, obtemos $|f(x)\cdot g(x)\ -\ L\cdot M|\ \leq |f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|$

Aplicando as desigualdades (1), (2) e (3), resulta $|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ |f(x)|\cdot {\frac {p}{|L|+1}}\ +\ (|M|+1)\cdot {\frac {k}{|M|+1}}$

Como ${\frac {f(x)}{|L|+1}}<1$, concluimos que $|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ p+k$

Portanto, $\left|f(x)\cdot g(x)\ -\ L\cdot M\right|\ <\ \epsilon$, o que confirma a validade do teorema.

T4 - (Razão)

Limite da razão de duas funções
Se existem os limites das funções $f(x)$ e $g(x)$ em um ponto $a$, e se o limite da função $g(x)$ no ponto $a$ é diferente de zero, então o limite da razão das funções neste ponto existe e é:
$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}\ =\ {\frac {\lim _{x\to a}f(x)}{\lim _{x\to a}g(x)}}$

Demonstração:

Seja $\lim _{x\to a}g(x)=M\neq 0$. Basta mostrar que $\lim _{x\to a}{\frac {1}{g(x)}}\ =\ {\frac {1}{M}}$, e aplicar a regra do produto para $f(x)\times {\frac {1}{g(x)}}$.

Queremos verificar se para cada $\epsilon$ positivo, existe algum $\delta$ positivo, tal que

$\left|{\frac {1}{g(x)}}\ -\ {\frac {1}{M}}\right|\ <\ \epsilon$, para todo $x\in D_{g}$ que verifica $0<\left|x\ -\ a\right|<\delta$

Mas esta expressão pode ser reescrita como: $\left|{\frac {M-g(x)}{Mg(x)}}\right|\ <\epsilon$.

A ideia agora é mostrar que, na fração acima, temos que o denominador é um número não muito pequeno, enquanto que o numerador é um número pequeno.

Como g(x) se aproxima de M, vamos forçar o denominador a ser um número maior (em módulo) que ${\frac {M^{2}}{2}}$, e vamos, portanto, forçar o numerador a ser um número menor (em módulo) que ${\frac {\epsilon }{2M^{2}}}$. Assim, a razão dos dois será menor (em módulo) que $\epsilon$.

• Denominador

Pelo fato de $\lim _{x\to a}g(x)=M\neq 0$, temos que para o número positivo ${\frac {\left|M\right|}{2}}$ existe um $\delta _{1}>0$ tal que $\forall x,(\left|x-a\right|<\delta _{1}\implies \left|g(x)-M\right|<{\frac {\left|M\right|}{2}}$.

Mas isto implica, em particular, que $\left|g(x)\right|=\left|M-(g(x)-M)\right|\geq \left|M\right|-\left|g(x)-M\right|>\left|M\right|-{\frac {\left|M\right|}{2}}={\frac {\left|M\right|}{2}}$.

Portanto, temos que $\left|Mg(x)\right|=\left|M\right|\ \left|g(x)\right|>\left|M\right|{\frac {\left|M\right|}{2}}={\frac {M^{2}}{2}}$.

• Numerador

É imediato, pela propriedade da subtração de limites, que, como $\lim _{x\to a}(M-g(x))=0$, temos que existe $\delta _{2}>0$ tal que $\forall x,(x<\delta _{2}\implies \left|M-g(x)\right|<{\frac {\epsilon }{2M^{2}}}$.

• Fração

Agora basta tomar $\delta =min(\delta _{1},\delta _{2})$, e observar o resultado desejado.

T5 - (Potência)

Limite da função com expoente.
Seja a função $f(x)$, o limite da função em um ponto $a$, quando a mesma é elevada a um expoente inteiro $n>0$, é:
$\lim _{x\to a}(f(x))^{n}\ =\ \left(\lim _{x\to a}f(x)\right)^{n}$

Demonstração:

De fato, para cada número natural $n,$ temos:

$\lim _{x\to a}\left(f(x)\right)^{n}=\ \lim _{x\to a}\left(\underbrace {f(x)\cdot f(x)\cdot \dots \cdot f(x)} _{n{\text{ vezes}}}\right)$

O que, pelo teorema do produto, é igual ao produto dos limites:

$\underbrace {\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}f(x)\cdot \dots \cdot \lim _{x\to a}f(x)} _{n{\text{ vezes}}}$

E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar.

T6 - (Radiciação)

Limite da radiciação de uma função.
Sejam a função $f(x)$, o limite da função em um ponto $a$, quando a mesma está sob um radical de potência inversa $n$, é:
$\lim _{x\to a}{\sqrt[{n}]{(f(x))}}\ =\ {\sqrt[{n}]{\lim _{x\to a}f(x)}}$

Demonstração:

Conseqüentes para funções algébricas:

Estas propriedades são verificadas rapidamente a partir da definição.

$\lim _{x\to a}c\ =\ c$

$\lim _{x\to a}x\ =\ a$

Além disso, as regras a seguir são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima:

$\lim _{x\to a}(mx\ +\ b)\ =\ ma\ +\ b$ sendo $m\neq \ 0;$

$\lim _{x\to a}(mx^{n}\ +\ px\ +\ \dots \ +\ b)\ =\ (ma^{n}\ +\ pa\ +\ \dots \ +\ b)$ sendo $m\neq \ 0;$

Limites laterais

Consideremos a função: $f(x)={\sqrt {x-2}}$. Podemos notar que nenhum valor de $x$ menor que 2 está no domínio da função, ou seja, ela não está definida no intervalo $(-\infty ,2)$. Esta indefinição também se refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo, pois não faz sentido falar de "limites" em valores nos quais a função não esteja definida (neste exemplo, uma certa faixa de números reais).

O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função?

Como o seu domínio é apenas $[2,\infty )$, devemos restringir o cálculo de limites a este intervalo; quando um conjunto (no caso, um intervalo) de números precisa ser excluído do domínio da função, ou quando já se sabe que a função não está definida em tal conjuto, podemos também, excluir certa faixa de valores durante o cálculo de limites; Por exemplo, ao analisar o comportamento de $f(x)$ nas proximidades do ponto $a$, se quisermos adotar apenas números maiores que $a$ na análise, podemos simbolizar isto desta forma: $\lim _{x\to a^{+}}f(x)$, da mesma forma poderemos adotar apenas números menores que $a$, representando a restrição da seguinte forma: $\lim _{x\to a^{-}}f(x)$.

No primeiro caso dizemos que o limite lateral pela direita da função é o valor para o qual a função tende quando $x$ se aproxima de $a$ pela direita. No segundo caso dizemos que o limite lateral pela esquerda da função é o valor para o qual a função tende quando $x$ se aproxima de $a$ pela esquerda.

Limite lateral pela direita

Dizemos que $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L$, quando:

$\left|f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad 0\ <\ x\ -\ a\ <\ \delta$

Limite lateral pela esquerda

Dizemos que $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$, quando:

$\left|f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad -\delta \ <\ x\ -\ a\ <\ 0$

Infinitos

Já lhe perguntaram o que é o infinito? Certamente alguém lhe deu uma resposta poética a respeito e de fato no sentido poético, o infinito é algo fascinante... Agora imagine um número absolutamente tão alto quanto é possível você conceber... Conseguiu? Pois bem, por maior que seja o número escolhido, ele não é infinito. Aqui, falaremos do infinito como sendo algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar. Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto que jamais poderíamos atingir. É como se fosse um caminho sem fim, como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem fim.

No início deste capítulo, discutimos como analisar o comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se aproxima de um determinado número. Nesta seção, discutiremos duas situações novas:

• O que acontece com os valores de $f(x)$, quando $x$ é muito grande?
• O que fazer quando, ao aproximar $x$ de um ponto $a$, os valores de $f(x)$ ficam cada vez maiores?

Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos". Deste modo, também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de limite. Para isso, quando realizarmos um cálculo, podemos tratar o infinito como se fosse um número, embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos alcançar. Por exemplo, caso a variável $x$ esteja tendendo ao infinito, e apareça em uma expressão, podemos imaginar o que aconteceria com a expressão caso $x$ fosse um número suficientemente grande. Então façamos um estudo de como podemos avaliar o comportamento das funções quando a variável tende a infinito.

Considerando uma função definida como:

$f(x)={\frac {1}{|x|}}$

Pensemos na melhor maneira de variar x para aumentar sucessivamente o valor desta função. Isto é possível fazendo com que $|x|$ forneça valores que diminuem até zero. É importante notar que quanto mais $|x|$ diminui, mais os valores da função $f(x)$ aumentam.

Obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente. Usaremos esta pois nos ajuda a evitar expressões como quociente de funções complicadas ou composição de várias funções, e assim eliminamos dificuldades desnecessárias na análise dos resultados que veremos logo adiante.

Vejamos alguns exemplos numéricos de como a função aumenta sucessivamente os seus valores, quando a variável se aproxima de zero. Acompanhe a tabela:

$x$	-2500	-200	-10	-0,5	-0,002	-0,000016	0	0,00008	0,0025	2,5	250	4000
$y=f(x)$	0,0004	0,005	0,1	2	500	62500	${\mathcal {6}}\exists$	12500	400	0,4	0,04	0,00025

Vemos que ao aproximar $x$ de zero, os valores de $y=f(x)$ tendem a ficar muito grandes. No entanto, se tivéssemos utilizado a função $g(x)={\frac {1}{x}}$ em vez de $f(x)={\frac {1}{|x|}}$, teríamos um comportamento ligeiramente para valores negativos de $x$: Ao fazer $x$ se aproximar de zero, $g(x)$ decresceria indefinidamente (tenderia a $-\infty$).

Levando em conta a discussão anterior, formalizaremos expressões intuitivas como "os valores da função vão para o infinito", "$f(x)$ tende ao infinito" e outras do gênero, com a notação $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{|x|}}=\infty$, que será definida precisamente mais adiante.

Isto é um exemplo do que chamamos de infinito matemático.

Tendências infinitas

Neste ponto, nosso interesse é tratar da possibilidade de $f(x)$ se aproximar de um certo número real, quando escolhemos valores cada vez maiores para $x$. Um ótimo exemplo é a função apresentada acima. De acordo com a tabela, vemos que parece ser razoável escrever:

$\lim _{x\to \infty }\ {\frac {1}{|x|}}\ =\ 0$

Isso se justifica, pois os valores de $f(x)$ ficam muito pequenos (próximos de zero), quando $|x|$ é muito grande.

Este é um conceito importantíssimo na análise, no cálculo e em diversos campos das ciências exatas. Iremos aprofundar este conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos. Para isso, considere a função $f(x)\ =\ {\frac {x^{2}-2}{x^{2}-1}}$. Pode-se mostrar que o seu valor jamais será maior que 1 quando tomamos valores de $x$ maiores que 1 (verifique!).

Fazendo sucessivas aproximações vemos que:

$x=1,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,2)$

$x=2,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,809523)$

$x=3,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,911111)$

$x=5,0\Rightarrow \quad f(x)=(0,985333)$

$x=10\Rightarrow \quad f(x)=(0,989898)$

$x=100\Rightarrow \quad f(x)=(0,999899)$

De fato temos uma tendência do valor da função se igualar a 1 quando levamos $x$ para números muito altos, embora ela nunca alcance o valor 1. Chamamos isso de limite no infinito, ou tendência infinita, e dizemos que $f(x)$ tende a 1 quando $x$ tende ao infinito.

Podemos simbolizar a tendência de $f(x)$, quando $x$ fica cada vez maior, usando uma destas formas:

$\lim _{x\to +\infty }f(x)$

ou

$\lim _{x\to \infty ^{+}}f(x)$

O mesmo pode acontecer quando o valor da variável independente tende ao infinito negativo ($-\infty$), então podemos representá-la assim:

$\lim _{x\to -\infty }f(x)$

ou

$\lim _{x\to \infty ^{-}}f(x)$

A partir das noções apresentadas anteriormente, podemos definir de forma rigorosa as têndências infinitas e os limites infinitos.

Definição

Chamamos o número $L$ de limite lateral no infinito positivo se:

$\forall \epsilon >0,\quad \exists N>0\quad$ tal que vale a implicação $x>N\quad \Rightarrow \quad \left|f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon$

Ou seja, $L$ é o número para qual uma função $f(x)$ tende a se igualar quando a variável independente $x$ ultrapassa o número positivo N.

Do mesmo modo, chamamos o número $L$ de limite lateral no infinito negativo se:

$\forall \epsilon >0,\quad \exists N<0\quad$ tal que vale a implicação $x<N\quad \Rightarrow \quad \left|f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon$

Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função, que portanto deve necessariamente ser ilimitado.

Limites infinitos

Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce vertiginosamente até zero, o que podemos fazer?

Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível colocar qualquer valor. Adotamos $+\infty$ ou $-\infty$, pois $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}\ =\ +\infty$, como já definimos anteriormente.

Continuidade

O básico conceito de continuidade expressa da ausência de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação.

Ao definir o conceito de continuidade, o objetivo é identificar uma propriedade comum a diversas funções: a ausência de quebras ou saltos em seu gráfico. Geralmente exemplifica-se esta característica dizendo que uma função contínua é aquela "cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel". Mas é importante ter em mente que isso é apenas uma interpretação do conceito, e que este é muito mais amplo.

Definição: (função contínua em um ponto) Se $f(x)$ é definida num intervalo aberto contendo $c$, então $f(x)$ é dita ser contínua em $c\;$ se, e somente se $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$.

Para exprimir em símbolos que uma função $f(x)$ é contínua no ponto $a$, escreve-se:

$\forall \;\epsilon >0,\;\exists \;\delta >0\;\quad |\quad \forall \;x\in D_{f},|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\epsilon$

Isto significa que:

• $\exists \;\lim _{x\rightarrow c}f(x)$
• $\exists f(a)$
• $\lim _{x\to a}f(x)\ =\ f(a)$

Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos.

Derivadas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Derivadas

Funções são criadas para refletir o comportamento de certos entes físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos. Trata-se da derivação, um processo destinado a analisar as variações no comportamento de um conjunto de dados numéricos, largamente utilizado hoje em dia.

Vamos criar os conceitos, desde o início, para entender como estão fundamentados os princípios de derivação. Com estes teremos meios de analisar vários problemas sob a ótica infinitesimal (das pequenas variações).

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Introdução (coeficientes angulares)

Seja uma reta definida pelos pontos $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2}).$ Existe uma relação entre as coordenadas dos dois pontos que expressa a inclinação da reta;

Definimos como coeficiente angular de uma reta, a seguinte razão:

$m\ =\ {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

O resultado desta relação é um número que expressa quanto a reta está inclinada comparada com o eixo x (da variável independente), pois quanto maior for o coeficiente angular de uma reta, mais próximo ela estará de ser uma reta vertical.

O coeficiente m é constante para qualquer segmento de uma reta fixada, e é visivelmente igual à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x.

Agora imagine o que teríamos se ao invés de uma reta tivéssemos uma curva... Em uma função para a qual os pontos do gráfico não acompanham uma linha reta, geralmente temos diferentes valores de m para cada par de pontos que tomamos para fazer o seu cálculo. Isto se deve ao fato de que a inclinação varia ao longo da curva, o que nos sugere que cada pequeno segmento da curva possui um m diferente.

Considerando uma função $f(x),$ teríamos sobre o seu gráfico os pontos:

$\left(x_{1},f(x_{1})\right)$

$\left(x_{2},f(x_{2})\right)$

Podemos denotar a distância de $x_{1}$ até $x_{2}$ por $\Delta x$, e deste modo:

$x_{2}=x_{1}+\Delta x$

Logo, teríamos:

$m={\frac {f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}{\Delta x}}$

Esta relação nos dá a inclinação de cada segmento de reta ligando um ponto $(x,f(x))$ a outro estabelecida pela distância $\Delta x,$ que nos fornece: $(x+\Delta x,f(x+\Delta x)).$ Imaginando que o gráfico da função seja uma "curva suave", podemos, a partir da equação anterior, encontrar os valores de m e verificar qual a inclinação aproximada da curva para cada ponto; note que quando diminuímos o módulo de $\Delta x$ a equação se torna mais precisa, no sentido de fornecer uma melhor aproximação para o coeficiente angular de um pequeno trecho da curva, pois cada segmento que é analisado se torna menor, logo temos condições de analisar mais segmentos da curva.

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Definição

Imaginemos que para cada par de pontos tenhamos uma reta, com seu respectivo coeficiente angular $m$, como vimos anteriormente existe uma maneira de relacionar a declividade a cada ponto da curva...

Observe a figura a seguir, que mostra o gráfico da função $f(x)=2+{\sqrt[{3}]{x-3}}+{\frac {x-3}{10}},$ e algumas retas secantes, passando pelo ponto $(x,y),$ onde $x=2$ e $y=f(x).$:

Figura 2

Podemos constatar que a função tem as seguintes características:

• A função f(x), expressa pelo gráfico, apresenta uma sinuosidade no intervalo entre $(x,y)$ e $(x_{1},y_{1});$
• A função não apresenta qualquer ruptura ou salto neste intervalo.

Dada uma sequência de pontos $(x_{1},y_{1}),$ $(x_{2},y_{2}),$ $(x_{3},y_{3}),\ldots$ cada vez mais próximos de $x$, traçamos as retas $r_{1}$, $r_{2},$ $r_{3},\ldots$ partindo do ponto $(x,y)$ fixado e passando pelos pontos correspondentes na sequência. Desta forma, podemos observar que, no caso da sequência apresentada na ilustração:

• A reta $r_{1}$ possui uma inclinação maior que $r_{2}$;
• Esta última possui uma inclinação maior que $r_{3}$;

Além disso, observamos ainda que:

• Quase não se consegue distinguir a reta $r_{3}$ do gráfico da função nas vizinhanças do valor $x$ de seu domínio, ou seja, esta reta parece uma boa aproximação da função $f$ em torno de $x.$

O que é importante saber é que os valores das inclinações das retas secantes se aproximam da inclinação de uma "reta tangente" ao gráfico da própria função no ponto $(x,y),$ a medida que diminui a distância entre um ponto $x_{i}$ da sequência e seu limite $x.$

Vemos então que uma maneira de tornar a inclinação da reta mais próxima da inclinação da função é diminuir a distância entre os pontos até o limite de sua aproximação, ou seja, se tomarmos uma sequência de pontos $x_{i}$ que ficam cada vez mais perto de $x$, o resultado é que a partir de algum momento, os pontos tomados para o cálculo de m estarão tão próximos que cada um se tornará quase idêntico ao seguinte. Uma vez que se obteve um valor de m para cada ponto da sequência, gostaríamos de definir a inclinação de $f$ em $x_{0}$, ou para ser mais preciso, a inclinação da reta tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $(x_{0},f(x_{0})),$ como sendo o limite:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}m(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Uma vez que tenhamos um valor deste limite para cada valor de $x$ de um certo conjunto, podemos criar uma nova função, que chamamos de função derivada de f, associando cada $x$ deste conjunto (o domínio da função derivada) com o correspondente $f'(x)$ (a inclinação de f neste ponto x). A nova função é obtida através dos valores de $f(x),$ esse artifício de criar uma função que nos dá a declividade de uma outra função em cada ponto é chamado de derivação, uma vez que criamos uma função que é a derivada da primeira.

A diferença entre os valores de $x_{1}$ e $x_{2},$ quando levada ao limite próximo de zero, também é chamada de diferencial $dx$ e a diferença entre os valores de $y_{1}$ e $y_{2},$ quando o diferencial $dx$ é levado ao limite, é chamada de diferencial $dy$:

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}$

Por este motivo, esta operação é chamada de diferenciação, pois se refere à criação de variáveis diferenciais (usando as diferenças entre $x_{i}$ e $x$), neste caso ${\mbox{d}}y$ e ${\mbox{d}}x.$

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Diferenciabilidade

Para que as diferenciais e por consequência, a derivada de uma função em um determinado ponto possam existir, certas condições devem ser cumpridas pela função. Verifica-se a partir da definição de $f'(x)$ que:

• Em primeiro lugar, o limite da função no ponto deve existir (verifique!);
• A função deve estar definida no ponto e seu valor ser igual ao limite;

Isso nos lembra a definição de continuidade. De fato, as condições acima significam que quando a função é diferenciável em um ponto, ela é também contínua no ponto.

O fato de funções derivadas serem contínuas se deve a existência do limite e do valor da função no ponto, uma vez que torna-se possível a existência do $\lim _{x\to 0}\left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]$ nestes casos.

Portanto, podemos em primeiro lugar verificar a continuidade de uma função para sabermos se há possibilidade da mesma ser diferenciável: se esta não for contínua temos condições de afirmar que a mesma não é diferenciável.

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Regras básicas

Para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas, todas são consequências da definição e podem ser facilmente demonstradas através do limite que aparece na definição e dos teoremas sobre limites de funções.

T7 - Soma e subtração

Derivada da soma e subtração
Seja a função $F(x)=f(x)\pm g(x)\,\!;$ sua derivada é:
$F'(x)=f'(x)\pm g'(x)\,\!.$

Demonstração:

Pela definição temos:

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x)-f(x)\mp g(x)}{\Delta x}}$

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)\pm g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\pm \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$

e portanto:

$F'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

T8 - Multiplicação

Derivada da multiplicação
Seja a função $F(x)=f(x)\cdot g(x)\,\!,$ então sua derivada é:
$F'(x)=f(x)\cdot g'(x)\ +\ g(x)\cdot f'(x)\,\!.$

Demonstração:

Pela definição temos:

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}}$

Somamos e subtraímos $g(x+\Delta x)\cdot f(x)$ na equação anterior:

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-g(x+\Delta x)\cdot f(x)+g(x+\Delta x)\cdot f(x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}}$

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot \left[g(x+\Delta x)-g(x)\right]}{\Delta x}}$

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\left[g(x)+\Delta x\right]\cdot \left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)\cdot \left[g(x+\Delta x)-g(x)\right]}{\Delta x}}$

$F'(x)=g(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$

e portanto:

$F'(x)=f(x)\cdot g'(x)\ +\ g(x)\cdot f'(x).$

T9 - Razão

Derivada da razão
Seja a função $F(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}\,\!,$ então sua derivada é:
$F'(x)={\frac {g(x)\cdot f'(x)\ -\ f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^{2}}}\,\!.$

Demonstração:

Pela definição temos:

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{\Delta x}}$

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{g(x)\cdot g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}}$

Podemos lançar mão de mais um artifício algébrico e somar e subtrair $f(x)\cdot g(x),$ o que nos dá:

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{g(x)\cdot g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}}$

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)\cdot \left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]-f(x)\cdot \left[g(x+\Delta x)-g(x)\right]}{g(x)\cdot g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}}$

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)\cdot \left[{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]-f(x)\cdot \left[{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x)\cdot g(x+\Delta x)}}$

Depois que aplicamos os limites, resulta em:

$F'(x)={\frac {g(x)\cdot f'(x)\ -\ f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^{2}}}$

T10 - Natureza algébrica das diferenciais

Natureza algébrica das diferenciais
Se $f'(x)$ existe, suas diferenciais podem ser tratadas como duas variáveis com características operacionais algébricas. Seja ${\mbox{d}}y$ e ${\mbox{d}}x$ as diferenciais de $f(x)\,\!,$ sua derivada é:
$f'(x)={\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}$

Seja ${\mbox{d}}y$ e ${\mbox{d}}x$ as diferenciais de $f(x)$ quando sua derivada é $f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}},$ Então:

Demonstração:

Pelo teorema da razão do limite:

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\Delta y}{\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x}}.$

O que nos dá a possibilidade de fazer:

${\mbox{d}}y=\lim _{\Delta x\to 0}\Delta y$

${\mbox{d}}x=\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x$

Desta forma, os operadores ${\mbox{d}}y$ e ${\mbox{d}}x$ são limites e podem ser operados como tal, de forma que, obedecendo às regras das operações algébricas dos limites, podem ser separados.

T11 - Regra da cadeia

Regra da cadeia
Seja a função composta $h(x)=f[g(x)]\,\!,$ sua derivada pode ser calculada por:
$h'(x)=g'(x)\cdot f'[g(x)]$

A função composta $\{y=f(u)\ ;\ u=g(x)\}$ nos dá a possibilidade de generalizar diversas funções, permitindo a sua simplificação, a sua derivada pode ser conseguida pela relação ${\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}={\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}u}}\cdot {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}$

Que pode ser verificada quase que imediatamente através das propriedades algébricas das diferenciais, de qualquer forma podemos demonstrá-la como segue:

Para simplificar a interpretação do conteúdo, usaremos a notação de derivada em relação à variável dependente; nesta notação colocamos um D e um sobescrito da variável dependente, ou seja, o símbolo $D_{t}(z)$ indica a derivada de z em relação a sua variável t.

Adotando esta notação para as derivadas, temos:

$D_{u}(y)=\lim _{\Delta u\to 0}{\frac {f(\Delta u)}{\Delta u}}$

$D_{x}(u)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(\Delta x)}{\Delta x}}$

queremos $D_{x}(y)$ e sabemos que $\lim _{\Delta u\to 0}f(\Delta u)=D_{u}(y)\cdot \lim _{\Delta u\to 0}\Delta u,$ para isso teríamos:

$D_{x}(y)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(\Delta u)}{\Delta x}}$

$D_{x}(y)=D_{u}(y)\cdot {\frac {\lim _{\Delta u\to 0}\Delta u}{\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x}}$

Quando $\Delta x\to 0$ ocorre que $\Delta u\to 0,$ pois as duas funções são contínuas e u depende de x, logo:

$D_{x}(y)=D_{u}(y)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}$

então:

$D_{x}(y)=D_{u}(y)\cdot D_{x}(u)$

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Derivadas algébricas simples

Podemos deduzir, a partir das regras comuns e da definição, equações que determinam a derivada para as funções mais comuns, adiante temos uma amostra destas equações e suas demonstrações.

T12 - constante

Derivada da constante
Seja a função $f(x)=c\,\!,$ onde c é constante e portanto, independente de x, é demonstrável que sua derivada é nula, pois não existe variação do valor da função;
$c'=0$

Conforme constatamos:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(c)-f(c)}{\Delta x}}$

$f'(x)=0$

T13 - fator

Derivada da função com fator
Seja a função $f(x)=c\cdot g(x),$ onde c é um fator constante e portanto, independente de x, é demonstrável que:
$f'(x)=c\cdot g'(x)$

Demonstração

Façamos o cálculo pela definição:

Admitindo, inicialmente, que o ponto onde pretendemos encontrar a derivada tem $x=x_{1}$ e $x_{2}=x_{1}+\Delta x$, logo:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {c\cdot g(x_{2})-c\cdot g(x_{1})}{\Delta x}}$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {c\cdot [g(x_{2})-g(x_{1})]}{\Delta x}}$

$f'(x)=c\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x_{2})-g(x_{1})}{\Delta x}}$

$f'(x)=c\cdot g'(x)$

O que nos afirma a validade do teorema.

T14 - Variável com expoente constante

Derivada da função com expoente constante.
Seja a função $f(x)=x^{n}\,\!,$ onde $n$ é uma constante positiva e $n\geq 1,$ sua derivada é:
$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$

Demonstração:

Temos pela definição:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{n}+n\cdot x^{n-1}\cdot \Delta x+{\frac {n\cdot (n-1)\cdot x^{n-2}\cdot (\Delta x)^{2}}{2!}}+...+n\cdot x\cdot (\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[n\cdot x^{n-1}+{\frac {n\cdot (n-1)\cdot x^{n-2}\cdot (\Delta x)}{2!}}+...+n\cdot x\cdot (\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1}\right]$

Considerando o limite, temos:

$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$

Como única parte relevante, pois todas as outras terão valores nulos no limite, isto prova o teorema.

Diferenciação implícita

Considerando que as diferenciais podem ser tratadas separadamente e que temos meios para tratar ambas as variáveis de uma equação, a partir da regra da cadeia, temos instrumentos para diferenciar qualquer equação que represente uma função contínua. O método de diferenciação implícita é muito útil como meio de simplificar a resolução de diferenciais onde a variável dependente é de órdem superior.

A idéia mestra deste mecanismo é tornar implícito o conteúdo da variável, sem que seja necessária a sua substituição por equivalente algébrico antes da resolução; Vejamos um exemplo para simplificar a explanação:

A função $y^{2}-2y-3=x^{3}-3x^{2}$ é realmente complicada para ser diferenciada pelos métodos que vimos até agora, porém podemos esquecer a resolução da equação e considerar que a diferenciação pode, implicitamente, ser operada diretamente na equação inteira, desta forma:

$2y\ {\mbox{d}}y-2\ {\mbox{d}}y=3x^{2}\ {\mbox{d}}x-6x\ {\mbox{d}}x$

A partir desta equação podemos operar as diferenciais algebricamente para encontrar o valor da derivada ${\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}.$

${\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}={\frac {3x^{2}-6x}{2(y-1)}}$

A equação que representa a função apresenta dois valores possíveis para y:

$\left[y=\left(2-x\right){\sqrt {x+1}}+1\quad ,\quad y=\left(x-2\right){\sqrt {x+1}}+1\right]$

O que nos dá duas derivadas, quando substituímos o valor de y na sua derivada:

$\left[{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}={\frac {3x^{2}-6x}{2\left(2-x\right){\sqrt {x+1}}}}\quad ,\quad {\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}={\frac {3x^{2}-6x}{2\left(x-2\right){\sqrt {x+1}}}}\right]$

Simplificando:

$\left[{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}={\frac {3x{\sqrt {x+1}}}{2(x+1)}}\quad ,\quad {\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}=-{\frac {3x{\sqrt {x+1}}}{2(x+1)}}\right]$

Desta forma podemos encontrar qualquer diferencial implicitamente, reduzindo a complexidade na aplicação das regras de derivação.

Aplicações das derivadas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Aplicações das derivadas

Vamos começar a colocar em prática esses conceitos que aprendemos até então, a derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, algumas delas vamos explorar neste capítulo, porém não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, a criatividade de cada mente a se manifestar.

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.

Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos, vejamos o que podemos aproveitar de imediato...

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Taxas

A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total "x" de porções "T" em "n" recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida:

$T={\frac {x}{n}}$

A taxa é uma relação linear, que pressupõe o comportamento de dependência direta entre os termos; se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico, onde variássemos a quantidade de recipientes "n" e calculássemos o valor de "x", mantendo "T" constante, teríamos uma reta. É plausível pensar que a taxa "T" é constante, porém na natureza e no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram a constância que observamos nesta equação, o mais comum é que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos.

Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial $S_{i}$ e um final $S_{f}$, além de um instante inicial $t_{i}$e um final $t_{f}$, também podemos calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo neste trajeto, que é:

$V_{m}={\frac {S_{f}-S_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

ou

$V_{m}={\frac {\Delta S}{\Delta t}}$

Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente a fazer com que o valor de $\Delta t$ se aproxime de zero:

$v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta S}{\Delta t}}$

Isto não nos lembra algo conhecido? Exatamente, uma derivada; a velocidade medida a cada instante é uma taxa tomada quando os tempos de medição se aproximam do limite entre um e outro, então teremos o valor da velocidade para cada instante, tal qual teríamos se estivéssemos observando o velocímetro do carro...

A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade instantânea, precisamos apenas da função "s" em função do tempo, depois podemos obter a derivada de "s" com relação a "t" e teremos:

 $v=s\ '(t)={\frac {{\mbox{d}}s}{{\mbox{d}}t}}$

Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função $s(t)$, todos os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vez que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada em seguida.

Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:

$a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

O que nos dá a aceleração instantãnea:

$a={\frac {{\mbox{d}}v}{{\mbox{d}}t}}$

ou

$a={\frac {{\mbox{d}}^{2}s}{{\mbox{d}}t^{2}}}$

Note que ao derivarmos a função $s(t)$ duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar desta forma:

$a=s\ ''(t)={\frac {{\mbox{d}}^{2}s}{{\mbox{d}}t^{2}}}$

Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o que chamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos o termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada.

Note que a derivação consecutiva de funções puramente algébricas sempre leva a zero, isto ocorre porque o grau do polinômio decresce até que reste apenas uma constante, a qual resulta em zero no último cálculo diferencial subseqüente.

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Máximo, mínimo e médio

Considerando que uma função não constante deve ter um valor máximo e outro mínimo em um segmento de seu domínio, quais são as possibilidades de análise que teríamos com as suas derivadas, visto que estas expressam tendências da declividade da função?

Vejamos o que podemos extrair das derivadas de uma função, que são expressões da declividade da curva que a representa e nos intui a possibilidade de antever o curso dos valores da função ao longo do domínio.

Extremos de um intervalo

Seja a função $f(x)$ cujo domínio limitamos em $[a,b]$, a menos que $f(x)$ seja constante,

 (1) Há um número ${n_{1}}$  do intervalo $[a,b]$ cujo seu correspondente na imagem $f(n_{1})$ é menor que todos os outros no domínio.

 (2) Há um número ${n_{2}}$ do intervalo $[a,b]$ cujo seu correspondente na imagem $f(n_{2})$ é maior que todos os outros no domínio.

Números críticos:

Definimos por número crítico, o valor assumido pela variável independente, de forma que seu resultante na imagem da função derivada seja nulo ou inexistente, o que na maioria das vezes se apresenta como um limite infinito.

Ou seja:

$f(x)$ tem derivada $f\ '(x)$ e c é um número crítico da função se:

$f\ '(c)=0$ ou
$f\ '(c)\not \exists$

T15 - Valor extremo

O valor extremo de uma função num intervalo
Considere agora que existe um número c, de forma que ${c}\in [a,b]$, que é domínio da função $f(x)$, podemos provar que: Se $f(c)\geq f(x)$ ou Se $f(c)\leq f(x)$ então:
$f\ '(c)=0$

Quando temos um número, dentro do intervalo, que obedece as condições acima, dizemos que é um "número crítico"; todas as vezes que uma função contínua tem um número cujo valor correspondente na imagem é maior ou menor que os valores dos outros, temos um máximo ou um mínimo no intervalo, intuitivamente, se a função é contínua e há um valor maior ou menor que os outros no mesmo intervalo é fácil concluir que a função terá que variar sua curva, variando a declividade de um valor positivo para outro negativo, o que nos leva a conclusão que, no limite entre os dois, ela terá que ser zero, fica claro então que quando há um extremo no intervalo, o valor numérico de sua derivada é nulo.

Vejamos a demonstração algébrica do teorema:

Seja os números $\alpha \ <\ {c}\ <\ \beta$, onde c é um número crítico do intervalo considerado, inicialmente, observando a derivada de $f(c)$, quando este valor é o maior no intervalo:

$f\ '(c)=\lim _{\alpha \to c^{-}}{\frac {f(\alpha )-f(c)}{\alpha -c}}>0$

e da mesma forma:

$f\ '(c)=\lim _{\beta \to c^{+}}{\frac {f(\beta )-f(c)}{\beta -c}}<0$

O que nos leva a concluir que:

$0<f\ '(c)<0\quad |\quad f(\alpha )\ <\ f(c)\quad \land \quad f(\beta )\ <\ f(c)$  

Por outro lado se $f(c)$ é o menor valor do intervalo:

$f\ '(c)=\lim _{\alpha \to c^{-}}{\frac {f(\alpha )-f(c)}{\alpha -c}}<0$

e da mesma forma:

$f\ '(c)=\lim _{\beta \to c^{+}}{\frac {f(\beta )-f(c)}{\beta -c}}>0$

O que nos leva a concluir que:

$0<f\ '(c)<0\quad |\quad f(\alpha )\ >\ f(c)\quad \land \quad f(\beta )\ >\ f(c)$

Logo em ambos os casos o limite que nos dá a derivada da função em c tem valor nulo.

Portanto sempre que temos um valor de uma função que é extremo em um intervalo, seja maior ou menor, este terá sua derivada nula.

T16 - Teorema de Rolle

Este teorema serve de base para outras demonstrações e observações, também sendo importante para conclusões ao longo do estudo.

Observe o gráfico:

Figura 3

Teorema de Rolle
Considerando uma função $f(x)$ e um intervalo fechado $[a,b]$, obedecendo as seguintes condições: I - $f(x)$ é contínua em $[a,b]$; II - $f(x)$ é derivável em $(a,b)$; III - $f(x)$ é diferenciavel e subentendida em $(a,b)$; IV - $f(a)=f(b)=0$ Então é possível provar que existe pelo menos um número c no intervalo tal que:
$f\ '(c)=0$

Em decorrência do fato que a função gera dois valores iguais para a e para b, além de ser derivável, isto implica na existência de um número crítico c, entre estes dois pontos, visto que o teorema T15 demonstra este fato, além de afirmar que este extremo tem derivada nula, provamos que o teorema é valido para $f(x)\neq 0$. Por outro lado se $f(x)=0$ a derivada de $f(c)$ também é nula, visto que $f(x)-f(c)=0$ quando o limite $\lim _{x\to c}(x-c)$ é alcançado, portanto:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=0$

T17 - Teorema do valor médio para derivadas

Tomemos dois números em um intervalo fechado $[a,b]$, quando uma função $f(x)$ é contínua neste intervalo temos pelo menos um número c, o qual projeta sobre a imagem da função um valor $f(c)$ de forma que a sua derivada é igual ao valor da declividade da reta entre os pontos $\{[a,f(a)];[b,f(b)]\}$.

A explicação deste fato é facilmente observada no gráfico de qualquer função contínua em um dado intervalo, uma vez que a curva não apresenta rupturas ao longo de seu traçado e entre os pontos há pelo menos uma sinuosidade simples ou uma reta, haverá uma progressão continuada da declividade de um ponto em direção à declividade do outro, neste caso a curva terá sempre que reproduzir valores de declividade de um extremo a outro, de forma que teremos inevitavelmente um ponto cuja reta tangente será paralela a reta definida pelos dois pontos citados.

Algebricamente:

O valor médio para derivadas
Se $f\ '(c)=m$ onde m é o coeficiente angular da reta determinada pelos valores ${a},{b}$ e seus conseqüentes na imagem da função: $f(a),f(b)$. teremos:
$f\ '(c)=m={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

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Análises de declive e concavidade

Uma interessante aplicação da derivada é a análise de tendências da função, o resultado desta derivada está ligado a declividade da reta "tangente ao ponto", uma vez que a tangente, nos dois primeiros quadrantes do plano cartesiano, apresenta uma distinção clara devido à mudança de sinal, isso possibilita uma boa gama de informações para a análise de seu comportamento e por conseqüência, da função que a originou.

T18 - Teste da derivada primeira

O coeficiente angular da reta que passa por um ponto da curva em uma função, nos revela uma tendência que varia conforme a tangente desta reta, tomando como referência o eixo x, quando a função é crescente os valores das derivadas para os mesmos, de x são sempre positivos, enquanto que quando a função é decrescente estes são sempre negativos. O que nos sugere o seguinte teste:

Teste da derivada primeira
Seja a função $f(x)$ em um intervalo $[a,b]$, dizemos que a função é crescente quando:
$f\ '(x)>0$ Ainda podemos afirmar que, quando a função é decrescente: $f\ '(x)<0$ E finalmente, se a função não apresenta tendências, permanecendo inalterada até o limite do ponto: $f\ '(x)=0$

É possível provar o teorema, pela análise da definição da função derivada, da seguinte forma:

Se $f(x)$ é contínua, existe $f\ '(x)$ tal que:

$f\ '(x)=\lim _{x_{b}\to x_{a}}{\frac {f(x_{b})-f(x_{a})}{x_{b}-x_{a}}}$ onde $x_{b}>x_{a}$.

Admitindo que o denominador é positivo, ou seja, que $x_{b}>x_{a}$ , nos resta analisar o sinal do resultado no numerador, se $f(x_{b})>f(x_{a})$ e portanto, quando a função é crescente no intervalo, teremos $f\ '(x)>0$, por outro lado se $f(x_{b})<f(x_{a})$ teremos uma função decrescente no intervalo e $f\ '(x)<0$.

No último caso, se $f\ '(x)=0$ então a reta que passa pelo ponto $[x;f(x)]$ é paralela ao eixo x, o que indica um extremo ou um ponto de transição na tendência de crescimento da curva; explicando melhor: Se os valores da função estão crescendo e o ponto em questão tem derivada nula, ou a função atinge o maior valor no intervalo, ou atinge um ponto de transição na tendência de crescimento, passando de crescente para decrescente; quando a função está decrescendo passa de decrescente para crescente.

T19 - Teste da derivada segunda

Teste da derivada segunda
Seja a função $f(x)$, dizemos que $f\ ''(x)$ é a derivada segunda, com a qual podemos provar que: Dado o intervalo $[a,b]$, onde existe um número ${c}\quad |\quad f\ '(c)=0$:
Se $f\ ''(x)<0$ então $f(c)$ fornece o valor máximo no referido intervalo. Ainda poderemos afirmar que: Se $f\ ''(x)>0$ então $f(c)$ fornece o valor mínimo no referido intervalo.

Análise:

Consideremos a derivada segunda $f\ ''(x)=\lim _{x_{2}\to x_{1}}{\frac {f\ '(x_{2})-f\ '(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$.

Tomando o valor de ${[(x_{2}-x_{1})>0]}$ podemos verificar o que ocorre com o numerador:

Se $f\ '(x_{2})<f\ '(x_{1})$ sabemos que a declividade da curva em $f(x_{2})$ é menor que a declividade de $f(x_{1})$, como em c temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um máximo, visto que os valores estão diminuindo quando são diferentes de c, ou seja, todos os valores decrescem a medida nos deslocamos no eixo x, portanto $f(c)$ apenas pode assumir o valor máximo no intervalo.

Se $f\ '(x_{2})>f\ '(x_{1})$ sabemos que a declividade da curva em $f(x_{2})$ é maior que a declividade de $f(x_{1})$, como em c temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um mínimo, visto que os valores estão aumentando quando são diferentes de c, ou seja, todos os valores crescem a medida nos deslocamos no eixo x, portanto $f(c)$ apenas pode assumir o valor mínimo no intervalo.

Concavidades

Temos formas côncavas em todo gráfico que apresenta variações, a derivada segunda também pode nos revelar outra característica interessante quando fazemos seu cálculo e a relacionamos à concavidade em um intervalo da curva... Como a derivada segunda reflete a tendência de crescimento ou decréscimo da declividade, temos como verificar que o seu sinal indica se a concavidade do gráfico é para cima ou para baixo, ou seja:

Se $f\ ''(x)>0$  a concavidade da curva está voltada para cima. 

Devido ao fato de que há uma tendência de crescimento da declividade naquele intervalo.

Se $f\ ''(x)<0$ a concavidade da curva está voltada para baixo.

Devido ao fato de que há uma tendência de decréscimo da declividade naquele intervalo.

Pontos de inflexão

A inflexão é uma indefinição transitória das tendências da função em um determinado ponto, dizemos que o ponto onde a função passa da condição de tendência ao crescimento para tendência ao decaimento, ou vice versa, é chamado de ponto de inflexão. De forma geral, quando a função passa de uma taxa de variação positiva: $f\ '(x)>0$ ou negativa: $f\ '(x)<0$ ou vice versa, ela passa por um ponto de inflexão.

Considerando o número crítico c, para uma função $f(x)$, o ponto de inflexão é definido como aquele onde ocorre a inversão na tendência da declividade, ou seja, quando:

$f\ ''(x)>0\to x>c\quad \land \quad f\ ''(x)<0\to x<c$

ou 

$f\ ''(x)<0\to x>c\quad \land \quad f\ ''(x)>0\to x<c$

Também é possível demonstrar que:

$f\ ''(c)=0$

O que torna possível identificar o número crítico do ponto de inflexão a partir da derivada segunda da função.

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Esboço de gráficos

Podemos aplicar os conceitos aprendidos neste capítulo para fazer esboços de gráficos, a prática deste artifício se mostra muito útil na análise de evoluções de grandezas, especialmente nas áreas de física, química e engenharia.

Para obter o gráfico de uma função qualquer pode-se usar de várias estratégias, entre elas: tabela de valores, uso de Cálculo, uso de ferramentas computacionais ou calculadoras gráficas.

Para usar o método da tabela, basta que num plano cartesiano sejam plotados pontos do gráfico da função em pequenos intervalos, unindo-os depois com uma linha "suave". Esboçar um gráfico assim não é muito recomendado se não se sabe com antecedência qual é o comportamento da função, visto que grandes flutuações podem ficar ocultas entre um ponto e outro. Por exemplo, se uma função for periódica (como $f(x)=cos(2\pi x)$, na figura ao lado) e o intervalo entre os valores for próximo ao do período dessa função (no caso, o período da função e o intervalo entre os pontos do domínio é 1), o esboço indicará uma função não periódica ($g(x)=1$), mas constante, claramente um erro. Por isso quando se utilizar desse método se deve ter cuidado para não se equivocar.

Para utilizar o computador ou uma calculadora, além da necessidade de saber como lidar com esse instrumento é necessário que se tenha certeza de que a função a ser esboçada não gerará nenhum bug no instrumento. Valores muito pequenos ou muito altos podem, dependendo do software, criar erros apreciáveis, os quais serão transmitidos para o gráfico a ser construído. Algumas funções podem acabar sem partes do gráfico, já que o programa não calcula a fórmula inserida em uma parte do domínio, mesmo que exista, devido a falhas ou mesmo omissões no código do aplicativo. Sendo assim, antes de usar o método é bom ter conhecimento a respeito do formato do gráfico, até mesmo para evitar erros decorrentes de digitação.

Para se utilizar o cálculo é necessário lembrar dos teoremas já estudados e também de suas implicações. É importante lembrar que os números críticos verificados com o teste da derivada primeira são diferentes dos conseguidos com a derivada segunda, podemos adotar uma notação indexada para identificá-los, assim temos: $c_{1}$ para o primeiro caso e $c_{2}$ para o segundo.

Para esboçar o gráfico de uma função desconhecida podemos extrair as raízes e o valor da função quando x é nula, além disso podemos verificar os pontos em que a função apresenta números críticos, extraindo a derivada primeira, a derivada segunda e resolvendo as equações: $f\ '(x)=0$ e $f\ ''(x)=0$, verificando os pontos onde as derivadas não existem; a partir de então podemos verificar as tendências de crescimento ou decaimento nos intervalos entre os números críticos, as raízes, pontos de inflexão e concavidades.

Obviamente, os resultados numéricos em pontos onde não existem números críticos não fornecem precisão para uma avaliação de valores, porém para a análise do comportamento da função e, em alguns casos, na visualização de formas geométricas, este método é bastante útil.

De um modo simplificado, pode-se estabelecer etapas para o esboço de gráficos com o uso de cálculo. 1. Expressar explicitamente a função a ser esboçada. 2. Calcular (algebricamente ou numericamente) as raízes da função, se existirem. 3. Procurar assíntotas horizontais, tomando o limite da função no infinito (tanto positivo quanto negativo) 4. Derivar a primeira vez e encontrar os pontos críticos da função (igualando a derivada a zero) 5. Derivar a segunda vez e testar os pontos críticos a fim de saber se são máximos ou mínimos locais (eventualmente globais) ou então se são pontos de inflexão. 6. Estudar o sinal da segunda derivada a fim de conhecer as concavidades da função original. 7. Representar as informações obtidas em um gráfico.

Integrais

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Integrais

Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguida como funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto.

Uma breve introdução dos conceitos que detalharemos neste capítulo pode ser encontrada em:

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Antiderivadas e antidiferenciais

Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma:

Considere a função $F(x)=f(x)+C$ cuja derivada $F\ '(x)=f\ '(x)$, então dizemos que $F(x)$ é a antiderivada de $f\ '(x)$, a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos $f\ '(x)$ para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antidiferenciação, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar $f\ '(x)$ e zero, o primeiro requisito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível.

Podemos então dizer:

A antiderivação é o processo pelo qual operamos a derivada de uma função 
para encontrar a sua exata função primitiva.

O que nos leva a conclusão que a antiderivação exige que tenhamos meios para encontrar a constante que pertencia a função quando ela foi derivada, ou que deduções, a partir de suas características e dos fenômenos utilizados para sua formulação, possam fornecer a constante.

A antidiferenciação, opera apenas os processos para dedução de um esboço da
função, o que chamamos de fórmula geral, no formato: $f(x)+C$.

Como podemos encontrar diversas constantes, temos diversas funções, o que nos dá a possibilidade de operar, por exemplo as funções: $f\ '(x)\quad ;\quad g\ '(x)$ derivadas de $f(x)+C\quad ;\quad g(x)+D$, mesmo que $f\ '(x)=g\ '(x)$, ao operarmos as funções derivadas utilizando a antidiferenciação teremos $f(x)\quad ;\quad g(x)$, que não nos garante meios de encontrar as primitivas, visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes.

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Definições

Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função $y=f(x)+C$, então temos: ${\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}x}}=f\ '(x)$, o que nos leva a algo muito interessante:

${\mbox{d}}y=f\ '(x)\cdot {\mbox{d}}x$

O que nos lembra:

$\lim _{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim _{\Delta x\to 0}f\ '(x)\cdot \Delta x$

Temos ainda que $y=f(x)+C$, fazendo-nos deduzir que precisamos operar:

$\lim _{\Delta x\to 0}f\ '(x)\cdot \Delta x$

Para encontrar y.

Esta operação é chamada de antidiferencial e é simbolizada por:

$\int f\cdot {\mbox{d}}$

Onde (f) é a função e (d) é a diferencial da variável independente.

De forma mais completa a antidiferencial da função $f\ '(x)$ é:

$\int f\ '(x)\cdot {\mbox{d}}x+C$

onde C é a constante que define a função primitiva.

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Operações básicas

A antidiferenciação é uma operação que tende a ser complicada na maioria das funções, ao longo do nosso estudo veremos métodos para simplificar o processo, porém existem formas de funções que não podem ser operadas nesse processo. Algumas das regras básicas para operação de antidiferenciais serão abordadas nas seções subseqüentes, outras regras serão abordadas nos próximos capítulos. Devido a complexidade que envolvem o processo, muitos dos métodos necessitam de alguma regra que ainda não estudamos; para não colocar questões que não possam ser esclarecidas neste capítulo teremos que deixá-las para o momento oportuno, quando todos os elementos necessários para a abordagem do assunto estejam bem claros.

T20 - Diferenciais

Integração de diferenciais
A diferencial ${\mbox{d}}x$ ao ser operada pela antidiferenciação, resulta:
$\int {\mbox{d}}x=x+C$

Com C constante.

Comprovação:

De fato se $F(x)=x+C$:

${\mbox{d}}\ F(x)={\mbox{d}}x+0$