Cálculo (Volume 3)/Imprimir


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Cálculo (Volume 3)
Para a disciplina Cálculo IV
 

Sequências numéricas infinitas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Conceitos IniciaisEditar

Uma sequência pode ser entendida como um conjunto de valores enumerados em uma ordem, de forma a estabelecer uma lista. Esta lista é, usualmente, denotada como  , genericamente devido ao fato de que cada elemento pode ser identificado pela posição na lista. Temos, por exemplo,  , como uma representação de uma sequência.

RepresentaçãoEditar

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

 

 

Vejamos alguns exemplos de sequências, notando que, a princípio, não há uma regra clara para estabelecimento de cada valor que os termos da mesma assumem:

 

 

 

Fórmula do termo geralEditar

 
Uma progressão aritmética.

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

 


Apesar de não haver uma exigência de que haja uma equação que descreva o comportamento dos elementos de uma sequência, as sequências que mantem uma relação como regra para definição de seus termos são muito úteis para o estudo do comportamento numérico. De modo genérico, podemos dizer que o mais comum é estabelecer uma relação do numero que designa o ítem da sequência e o elemento. Por exemplo, podemos ter:

 

Esta sequência nos fornece para cada termo a somatória dos números inteiros até o nésimo elemento da sequência. A função sequência tem um gráfico onde os valores são apresentados como pontos cuja magnitude é expressa em   e o número do indice da sequência é expresso em  , vejamos o exemplo abaixo:

 

Podemos observar que os pontos representantes das amplitudes fazem com que o aspecto do gráfico de uma sequência seja diferente do conjunto contínuo que nos abituamos a observar em gráficos de funções. Enquanto a função se mantém definida para  , a sequência define valores em  .

Observando o gráfico da sequência, vemos que a medida que os números índice crescem as amplitudes se aproximam de um valor fixo em "y". Esta característica torna-se bastante útil para análise de tendências. Por este motivo vamos analisar estas sequências com maior atenção.

FormalmenteEditar

Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é   e cuja imagem é   ou  .  

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {an}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a1 é 1, a317 é 317, e an é n.

A seqüência também é indicada por: a0, a1, a2, ..., an, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.

Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de   (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:

 

Notações:

  1  
  2  
  3  
  4  

OBS.: Utilizaremos mais a notação 4

OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação


EvoluçãoEditar

As sequências evoluem, dependendo do seu número sequencial  , de diversas formas. Esta evolução pode ser classificada quando a equação da sequência é conhecida. Podemos, nestes casos, verificar se a evolução da fórmula leva a números em ordem crescente ou decrescente em um intervalo ou durante sua evolução completa, do primeiro elemento ao infinito.

Uma sequência é classificada como crescente quando, para cada  , temos   e decrescente quando  . Este comportamento pode ser encontrado em um trecho em particular da evolução, delimitado por dois valores de  , ou em toda a evolução. Sob este contexto, uma sequência crescente ou decrescente pode ser chamada de monotônica quando apresenta apenas um dos comportamentos.

Vamos analisar a evolução da sequência:  

 

 

 

 

 

ou seja, temos:

 

Portanto, a sequência aparentemente indefinível algebricamente por uma expressão em função do índice, se mostra redutível a uma equação. Estas séries redutíveis a equações nos fornecem informações muito úteis, nos permitindo encontrar relações e regras que podemos usar na síntese de equações.

Limites no infinitoEditar

Temos sequências que se aproximam de valores quando   tende a aumentar indefinidamente, ou seja, quando o valor desta variável tende a infinito. Este comportamento é similar ao encontrado quando analisamos funções que tendem a valores quando levadas ao infinito. A única diferença entre funções e sequências, quando analisadas sob este aspecto, é o fato das sequências exigirem valores inteiros das variáveis, enquanto que funções admitem valores reais para as mesmas.

Uma vez que temos a evolução de valores de sequências similares a valores de funções, é plausível concluir que limites em valores estritamente limitados a números inteiros possam levar a análise de limites de forma semelhante. Então vejamos como esta análise pode ser conduzida:

Conforme fizemos o estudo de limites no infinito no Volume 1, temos   como um número tomado sob a abscissa inteira, ou seja, um número inteiro. Uma vez que tomamos este número, façamos a sequência   evoluir a números maiores e observamos que estes se aproximam de um valor  , quanto mais alto seja   mais proximo de   a sequência   se estabelece:

  sempre que  

Desta forma, os valores tomados para a sequência são inteiros e o número   tem a única obrigação de estar definido para um valor  . Portanto, podemos arbitrar valores cada vez maiores para   dentro do limite estabelecido. Neste intervalo, qualquer valor de   inteiro leva a valores que se aproximam de   por parte de  .

O fato de ser possível encontrar este limite nos reporta a informação de convergência, ou seja dizemos que uma sequência converge quando é possível encontar um limite no infinito, caso contrário dizemos que a sequência diverge. Portanto, podemos classificar as sequências como convergentes ou divergentes de acordo com a existência do limite no infinito ou sua inexistência.

Limite de uma sequênciaEditar

Definição: Dada uma seqüência  , dizemos que o número   é o limite de   para   se,   > 0,   tal que   <  .

Definição: Se a seqüência   tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.


Encontremos o limite quanto   tende a infinito, para a sequênca do exemplo acima:

 :

 

 

Desta forma o resultado acima nos fornece a certeza de que podemos arbitrar valores para a variável de forma a conseguir a precisão que queiramos para a sequência e que sempre teremos valores mais próximos deste limite a medida que o valor da variável aumenta.

Propriedades de sequênciasEditar

Sejam   duas seqüências convergentes, isto é,   e  . Então:

  •  
  •  
  •  
  •  


SubsequênciasEditar

Definição: Dada uma seqüência  , as restrições de   a subconjuntos de   serão denominadas subseqüências de  .

Teorema: Se  , então toda subseqüência de   converge para o mesmo limite L.

Teorema: Dada a seqüência  , se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então   converge também para L.

Definição: Dada uma seqüência  , temos que:

  • l é chamada de cota inferior se  
  • L é chamada de cota superior se  
  •   é dita limitada se possui cota inferior e cota superior

Observações:

  • Se   é uma seqüência crescente ( ), então   é uma cota inferior
  • Se   é uma seqüência decrescente ( ), então   é uma cota superior
  • Se   é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos (  >  ), então   é limitada,  

Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

Sequências monótonas e limitadasEditar

Definição: Seja   uma seqüência monótona:

  • crescente, se  
  • decrescentes, se  


Séries numéricas infinitas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries numéricas infinitasEditar

Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.

Definição: Seja   uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:

 

Observemos que  , como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada  , temos uma nova seqUência gerada pela série.

Seqüência das somas parciaisEditar

Seja   uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência  , onde

 
 
 
 
 

Série convergenteEditar

Definição: Seja   uma série e   a sua seqüência de somas parciais.

  • Se   <  , a série é dita convergente e tem soma  ;
  • Caso contrário, a série diverge

Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.

Critério do termo geralEditar

Se   é uma série convergente, então  

Teste da divergênciaEditar

Se  , então a série   diverge.

Séries geométricasEditar

São séries do tipo  .

A série geométrica:

  • Converge se e só se   ou  .
  • Se  , então   (independentemente do valor de  ). Se  , então  .

A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente:

 

Se multiplicarmos a equação por  :

 

Subtraímos as duas equações acima e obtemos:

 

Finalmente, temos   se   e  . O que nos revela que a série converge para:

 

Propriedades de sériesEditar

  • Sejam   e   duas séries convergentes. Então   =   converge
  • Se   converge (diverge) e  , então   converge (respectivamente, diverge) (se  , então   converge)
  • Se   converge e   diverge, então   diverge
  • Sejam as séries   e   tais que   a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.

Série geométrica

Série GeométricaEditar

A série geométrica é uma sequência numérica muito importante para a matemática e para o estudo do cálculo já que a partir dela pode-se expressar várias funções em séries de potência infinitas. Essa série também é chamada de progressão geométrica ou simplesmente PG (veja alguns exemplos no livro de matemática elementar). Referências a esta série podem ser encontradas no trabalho de Malthus e em várias formas da natureza como em conchas de caracóis.

Formalização matemáticaEditar

Termo geral

 

Onde c é uma constante qualquer.

Soma dos   primeiros termos:

 

Ver tambémEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Série geométrica


 

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Séries de termos positivos

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Séries de termos positivosEditar

 

Teste da integralEditar

Seja   uma série de termos positivos. Seja   uma função positiva, contínua e decrescente para  , e tal que  , para  . Então a série  :

  • Converge, se   convergir;
  • Diverge, se   divergir.

Teste da comparação simplesEditar

Sejam   e  ,   >  , tais que  . Então:

  • Se   converge, então   converge
  • Se   diverge, então   diverge

Teste da comparação por limiteEditar

Sejam   e  ,   >  , tais que  . Se:

  •  , então as séries têm o mesmo comportamento
  •  , então a série   converge se a série   converge
  •  , então a série   diverge se a série   diverge

P-séries (Critério de Dirichelet)Editar

Uma série do tipo   converge se p > 1 e diverge se  . Essas séries são conhecidas como p-séries, e são comumente usadas em testes de comparação.

Teste da razão (Critério de d'Alembert)Editar

Seja   uma série, onde   >  . Então:

 

  • Se k < 1, a série converge
  • Se k > 1, a série diverge
  • Se k = 1, nada se pode concluir

Teste da raiz (Critério de Cauchy)Editar

Seja   uma série, onde   >  . Então:

 

  • Se k < 1, a série converge
  • Se k > 1, a série diverge
  • Se k = 1, nada se pode concluir

Séries alternadas

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Séries alternadasEditar

São séries da forma:

 
ou
 

Teste de LeibnizEditar

Seja a série alternada  ,   >  . Se   e   >  , então a série converge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo.


Séries absolutamente convergentesEditar

Uma série numérica   é absolutamente convergente se a série dos módulos,  , converge.

Teorema: Se uma série numérica   é absolutamente convergente, então é convergente.

Séries condicionalmente convergentesEditar

Uma série   convergente, mas não absolutamente convergente, é chamada de condicionalmente convergente.

Teste da razão para convergência absolutaEditar

Seja   uma série numérica. Então

 

  • Se k < 1, a série converge
  • Se k > 1, a série diverge
  • Se k = 1, nada se pode concluir

Teste da raiz para convergência absolutaEditar

Seja   uma série numérica. Então

 

  • Se k < 1, a série converge
  • Se k > 1, a série diverge
  • Se k = 1, nada se pode concluir

Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico

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Aplicação de séries alternadas no cálculo numéricoEditar

Definição: Dada uma série   que converge, cuja soma é S, a diferença entre S e a sua soma parcial de ordem n é chamada de resto.

Notação:  

Teorema: Seja   >  , uma série alternada convergente. Então o módulo do erro,  , cometido ao aproximarmos a soma da série S pela soma parcial  , é numericamente inferior ao elemento  , ou seja,   <  

Sequências e séries: Exercícios

  1. Suponha que a n-ésima soma parcial de uma série seja dada por  .
    a) Esta série converge? Em caso afirmativo, para qual valor?
    b) Qual é a fórmula do n-ésimo termo da série?
  2. Determine o valor para o qual as séries abaixo convergem:
    a)  
    b)  
    c)  
    d)  
  3. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
    a)  
    b)  
    c)  
    d)  
    e)  
    f)  
    g)  
  4. Determine se as séries abaixo convergem condicionalmente, convergem absolutamente ou divergem:
    a)  
    b)  
    c)  
    d)  
    e)  
    f)  
    g)  

Séries de potências

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Séries de potênciasEditar

Uma série de potências é uma série do tipo   (série de potências de  ), em que a e an são constantes.

Observação: Note que não se trata de uma série numérica. Uma série desse tipo pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz sentido falar em _domínio de convergência_,  , que é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.

Teorema: Seja a série   com raio de convergência  , isto é, a série converge no intervalo aberto  . Então, chamando   de  , temos:

  •   é contínua em  
  •   tal que  
  •   tal que  

Dica: Para determinar a soma de séries de potências, é comum partir de uma das seguintes séries:

  <  

 


Através de processos como substituição de variáveis, multiplicação, integração e diferenciação, efetuados em ambos os membros da igualdade, é possível chegar à série cuja soma queremos determinar.

Equações diferenciais primeira ordem

Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação em que as incógnitas são funções e essa equação envolve a primeira derivada da incógnita. Assim, podemos definir uma equação diferencial de primeira ordem como:

F(t,y,y')=0

em que t é a variável independente, y é uma função dependente de t e ao mesmo tempo a incógnita da equação e y' é a primeira derivada de y.

Uma equação diferencial de primeira ordem pode ser classificada também de acordo com o seu tipo (ordinária ou parcial) e quanto a linearidade (linear ou não-linear).

Exemplo de equação diferencial de primeira ordem:

(t-3)y'+(5t+2)y+(2t²+t)=0

Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.